時間：2022-02-10 15:42:35
序論：在您撰寫函數(shù)教學論文時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導您走向新的創(chuàng)作高度。
關鍵詞：函數(shù)；對應；映射；數(shù)形結合
1要把握函數(shù)的實質
17世紀初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數(shù)的思想，把函數(shù)一詞用作數(shù)學術語的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數(shù)符號。關于函數(shù)概念有“變量說”、“對應說”、“集合說”等。變量說的定義是：設x、y是兩個變量，如果當變量x在實數(shù)的某一范圍內(nèi)變化時，變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數(shù)，記作y=f(x)。初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值與之對應，那么y就是x的函數(shù)，x叫自變量，x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和x的值對應的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域。它的優(yōu)點是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數(shù)的實質——對應缺少充分地刻畫，以致不能明確函數(shù)是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數(shù)，這與函數(shù)是反映變量間的關系相悖，究竟函數(shù)是指f，還是f(x)，還是y=f(x)?使學生不易區(qū)別三者的關系。
迪里赫萊（P.G.Dirichlet）注意到了“對應關系”，于1837年提出：對于在某一區(qū)間上的每一確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫x的一個函數(shù)。19世紀70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對應稱為映射，并把：“一切非空集合到數(shù)集的映射稱為函數(shù)”，函數(shù)是映射概念的推廣。對應說的優(yōu)點有：①它抓住了函數(shù)的實質——對應，是一種對應法則。②它以集合為基礎，更具普遍性。③它將抽像的知識以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學與身高（實數(shù)）的對應；某班同學在某次測試的成績的對應；全校學生與某天早上吃的饅頭數(shù)的對應等都是函數(shù)。函數(shù)由定義域、值域、對應法則共同刻劃，它們相互獨立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數(shù)的實質。
對于集合說是考慮到集合是數(shù)學中一個最原始的概念，而函數(shù)的定義里的“對應”卻是一個外加的形式，，似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且滿足條件，對于每一個x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，則y1=y2，這時就稱集合f為A到B的一個函數(shù)。這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過于形式化，它舍棄了函數(shù)關系生動的直觀，既看不出對應法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學生理解，而且在推導中也不便使用，如此完全化的數(shù)學語言只能在計算機中應用。
2加強數(shù)形結合
數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。在7—12年級所研究的函數(shù)主要是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，對每一類函數(shù)都是利用其圖像來研究其性質的，作圖在教學中顯得無比重要。我認為這一部分的教學要做到學生心中有形，函數(shù)圖像就相當于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數(shù)性質就比較直觀，處理問題時就會得心應手。函數(shù)觀念和數(shù)形結合在數(shù)列及平面幾何中也有廣泛的應用。如函數(shù)y=log0.5|x2-x-12|單調(diào)區(qū)間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時，x=-3或x=4，知t函數(shù)的圖像是變形后的拋物線，其對稱軸為x=?與x軸的交點是x=-3或x=4并開口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉到x軸上方，再考慮對數(shù)函數(shù)性質即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的實數(shù)根的個數(shù)，該方程實根個數(shù)就是兩個函數(shù)y=3x2+6x與y=1／x圖像的交點個數(shù)，作出圖像交點個數(shù)便一目了然。
3將映射概念下放
就前面三種函數(shù)概念而言，能提示函數(shù)實質的只有“對應說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應說”的定義，可有以下優(yōu)點：⑴體現(xiàn)數(shù)學知識的系統(tǒng)性，也顯示出時代信息，為學生今后的學習作準備。⑵凸顯數(shù)學內(nèi)容的生活化和現(xiàn)實性，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學模型。⑶變抽像內(nèi)容形像化，替換后學生會感到函數(shù)概念不再那么抽像難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數(shù)。學生就會感到函數(shù)不再那么可怕，它無非是一種映射。只需將集合論的初步知識下放一些即可，學生完全能夠接受，因為從小學第一學段就已接觸到集合的表示方法，第二學段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔心。以前有人提出將概率知識下放的觀點，當時不也有人得出反對意見嗎？可現(xiàn)在不也下放到了小學嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學生易于接受，學生就不會提出“到底什么是函數(shù)？”這樣的問題。
（一）案例教學的內(nèi)涵
對于案例教學，不同的教育工作者給出了不同的定義，不一而足。筆者認為，經(jīng)濟數(shù)學的案例教學，是指教師以案例為基本素材，創(chuàng)設（問題）情境，通過師生、生生間多向互動，激發(fā)學生有意義的學習，使其加深對基本原理和概念的理解，以達到建構知識與提高分析、解決問題能力的目的的一種特定的教學方法，是一種理論與實際有機切合的重要教學形式。
（二）案例應用方式分類
依據(jù)案例在經(jīng)濟數(shù)學概念（原理）教學過程中應用的方式和出現(xiàn)的位置，可將其分為以下四類。
1.概念（原理）前案例。在進入教學主題之前，先引入若干簡單、特殊的案例，然后以不完全歸納的形式呈現(xiàn)概念（原理）的教學方式稱為概念（原理）前案例教學。概念（原理）前案例數(shù)量以二三為宜。如：在導數(shù)（邊際）定義前引入變速直線運動物體的速度問題、曲線在一點處的切線的斜率問題，在定積分定義前引入曲邊梯形的面積問題等。
2.概念（原理）中案例。通過引入貼合教學主題、難度適中的案例，隨剖析隨呈現(xiàn)概念（原理）的教學方式稱為概念（原理）中案例教學。經(jīng)濟數(shù)學中的彈性概念適合概念（原理）中案例教學。
3.概念（原理）后案例。在呈現(xiàn)概念（原理）后，再拋出相對較難的案例，以演繹的形式再現(xiàn)或者應用概念（原理），以加深學習者對概念（原理）的理解、內(nèi)化、遷移能力的教學方式稱為概念（原理）后案例教學。概念（原理）后案例涉及的知識面比較廣，難度較大，可以分為課上、課下兩部分實施。課上以教師為主導，課下以作業(yè)的形式，促使有興趣的學生翻閱資料鉆研探索，鍛煉其分析綜合、解決問題的能力。概念（原理）后案例教學具有普適性。
4.前后呼應式案例。在進入教學主題之前，先拋出案例題干激發(fā)學生的學習興趣，而后呈現(xiàn)概念（原理），最后剖析案例，應用概念（原理）解決案例的教學方式稱為前后呼應式案例教學。前后呼應式案例教學適合于復雜概念（原理），如微分方程理論、差分方程理論、級數(shù)理論等。
二、分段函數(shù)的案例教學
例1：快遞收費問題。圓通快遞哈爾濱發(fā)深圳收費規(guī)定如下：首重1公斤，收費13元，續(xù)重每公斤10元。試建立快遞收費y（元）與貨物重量x（公斤）之間的函數(shù)關系。解：y=13，0<x≤113+10（x-1），x>—1例2：郵資問題。國內(nèi)普通信函重量在100克及以內(nèi)的，每重20克（不足20克，按20克計）本埠收費0.80元，外埠收費1.20元；100克以上部分，每增加100克（不足100克，按100克計）本埠加收1.20元，外埠加收2.00元。試分別建立本外埠郵資與信函重量之間的函數(shù)關系。
三、總結
所謂數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識的本質認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點，他在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數(shù)學和用數(shù)學解決問題的指導思想;是在數(shù)學教學中提出問題、解決問題過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。掌握數(shù)學思想方法，就是掌握數(shù)學的精髓，因此要使學生領悟、掌握和熟練地使用數(shù)學思想方法，不是機械的傳授。下面我就在一次函數(shù)教學中用到哪些數(shù)學思想方法談談個人的一些做法：
一、數(shù)形結合思想方法
“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”。“數(shù)形結合”是數(shù)學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數(shù)學問題的有效思想。利用“數(shù)形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡，使抽象變得直觀。如：一次函數(shù)y=-x+5圖象不經(jīng)過哪一象限？解法一：根據(jù)圖象性質，k＜0,b＞0過一二四，即不過三象限。解法二：若忘了一次函數(shù)圖象性質，可做出此函數(shù)的圖象，問題就迎刃而解了。這就是利用了數(shù)形結合思想方法。
三、分類思想方法
當一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論，例如一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過哪幾個象限，這時就要分四類討論：
(1)當k＞0,b＞0時，圖象經(jīng)過一二三象限；
(2)當k＞0,b＜0時，圖象經(jīng)過一三四象限；
(3)當k＜0,b＞0時，圖象經(jīng)過一二四象限；
(4)當k＜0,b＜0時，圖象經(jīng)過二三四象限。
三、整體思想方法
整體思想是從問題的整體性質出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯(lián)，進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理等都是整體思想方法在解數(shù)學問題中的具體運用。例如：已知y+b與x+a（a,b是常數(shù)）成正比例，（1）試說明y是x的一次函數(shù)：（2）如是x=3時，y=5，x=2時，y=2，求y與x的函數(shù)關系式。解決這個問題（1）時，我們就要把y+b與x+a都看成一個整體，設y+b=k（x+a）得出y=kx+ak-b，從而說明y是x的一次函數(shù)，解決問題（2）時，當我們把握兩組數(shù)值代入解析式y(tǒng)=kx+ak-b中后得到一個三元二次方程組，顯然不能求出每個未知數(shù)的值，但我們可以把ak-b看作一個整體，就可以求出k=3，ak-b=4，從而求出y與x的函數(shù)的關系式是y=3x-4，在這個問題中兩次運用到整體思想方法。
四、模型思想方法
當一個問題可能與某個方程建立關聯(lián)時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。如若想找出一次函數(shù)y=kx+b與x軸、y軸交點，可根據(jù)點在坐標軸上的特征，x軸上的點縱坐標為0，即當y=0時，x=-b/k，即與x軸交點為（-b/k，0）。y軸上的點橫坐標為0，即當x=0時，y=b，因此與y軸交點為（0，b）。這就用到了方程這一模型思想方法。
五、類比思想方法
當我們要探究一次函數(shù)y=kx+b的圖象及其變化規(guī)律時，由于一次函數(shù)y=kx+b的圖象可以看作是由正比例函數(shù)y=kx的圖象平移|b|個單位長度而得到的，因而可以利用之前已經(jīng)學習正比例函數(shù)y=kx的圖象及其變化規(guī)律類比得出一次函數(shù)y=kx+b的圖象及其變化規(guī)律。
六、特殊與一般思想方法
函數(shù)插值理論在數(shù)值分析中是非常重要的一個知識點，也是離散函數(shù)逼近的重要方法。其原理是利用插值法，可在離散數(shù)據(jù)的基礎上得到一條連續(xù)函數(shù)通過全部已知數(shù)據(jù)點，進而可以估算出其他節(jié)點處的近似值。插值方法主要有拉格朗日插值、牛頓插值、分段線性插值、樣條插值等，其理論煩瑣，但是又非常重要，它是數(shù)值積分理論的重要理論基礎。插值方法很多，如何在理論和實驗教學中讓學生掌握各個方法的原理，以及每個插值方法使用的注意事項，是擺在教師面前的難題。課堂注重理論，實驗注重做法，在實驗教學中，筆者認為應該在加強課堂理論學習的基礎上，實驗要注重如何讓學生鞏固課堂學習的成果，把插值的原理和特點通過設計的算例讓學生自己描繪出來。學生通過實驗全面認識各個插值理論的優(yōu)缺點，為以后數(shù)值積分的學習打下基礎。為此，在插值實驗這一節(jié)，我們?yōu)閷W生設計了一個比較實驗，通過每一對有特點的算例的比較，讓學生在比較中獲得各個插值方法的使用注意事項和具體的操作方法，知道什么可以做什么不能做，并且獲得對插值的全新認識。實驗的首要任務是編程，利用MATLAB數(shù)學軟件結合課堂學到的理論公式編寫拉格朗日插值和牛頓插值的程序。盡管MATLAB有內(nèi)置的命令實現(xiàn)拉格朗日插值，但是學生無法通過內(nèi)置命令掌握拉格朗日插值理論公式，并且由于通過MATLAB編程實現(xiàn)拉格朗日插值和牛頓插值比較容易，所以還是要求學生通過理論公式獨立編程，以加深對理論公式的記憶和理解。在編程的基礎上，要求學生利用編寫的程序完成以下對比實驗。
1.從函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π）中等距離取5個點，要求學生分別利用拉格朗日插值和牛頓插值進行求插值函數(shù)的操作
觀察利用兩個插值原理求出來的插值函數(shù)有何異同。2.從多項式y(tǒng)=x4+x3+x2+x+1中等距離取5個點，要求學生利用拉格朗日插值方法進行插值操作，觀察獲得的插值函數(shù)和原函數(shù)有何異同。3.提示學生對函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π）的5點拉格朗日插值效果不好，若要提高插值效果，將節(jié)點個數(shù)增加到11個，將插值效果進行比較。4.在上例的基礎上，讓學生通過畫圖比較函數(shù)f（x）=11+25x2，x∈（-1，1）的5點拉格朗日插值和11點拉格朗日插值效果。提示學生可以進一步增加節(jié)點個數(shù)，觀察得出的圖形。5.利用分段插值的方法，對函數(shù)（fx）=11+25x2，x∈（-1，1）進行11點插值，與11點拉格朗日插值的插值效果比較。6.保留拉格朗日插值方法，取消等距節(jié)點，提示學生利用[-1，1]上的切比雪夫多項式的零點（切比雪夫點）xk=cos（2k-1）π2（n+1）--，k=1，2，…，n+1對以上兩個函數(shù)進行拉格朗日插值，與等距節(jié)點的插值效果進行比較。我們希望學生做完以上案例后不但能順利完成結果的獲得，而且還能利用課堂學到的理論知識分析得到的結果，這些結果都是課堂上講解的理論知識的數(shù)值例子，能做出來，會分析，這是對學生的鍛煉，也能提高學生的動手能力和學習積極性。以下我們對以上案例進行分析。1.通過案例1，學生得到結果后能了解到，在相同的節(jié)點條件下，利用拉格朗日插值和牛頓插值得到的插值多項式是一樣的，這與課堂的理論分析完全一致。這個結果是學生自己完成實驗后得到的，與課堂理論分析結合，學生更能理解兩種插值的相同之處。而通過編寫兩個插值方法的MATLAB程序，學生既可以學習編程，還可以掌握兩者達到同一目的的不同之處。
2.通過上例可得出拉格朗日插值和牛頓插值結果
一樣的結論，所以對四次多項式y(tǒng)=x4+x3+x2+x+1進行5點插值只需利用拉格朗日插值即可。學生可通過得到的結果和圖形知道，其實得到的插值多項式就是原來的四次多項式本身，原函數(shù)和插值多項式兩者的誤差為零。這個結論可以提示學生通過拉格朗日插值理論的誤差公式解釋和分析，從而復習和掌握拉格朗日插值誤差公式。
3.通過案例1得到的插值多項式的圖形對比原函數(shù)圖形
一般來說函數(shù)的5點插值的逼近效果還是不理想的，誤差比較大。若要提高逼近效果，首先讓學生通過實驗觀察提高節(jié)點個數(shù)對插值的逼近效果的影響。所以設計了一個對比實驗讓學生對兩個函數(shù)進行高次插值。通過實驗結果的觀察可知，對于函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π），11點的插值逼近效果在整個區(qū)間上都比5點插值效果好，幾乎和原函數(shù)重合了提高插值次數(shù)達到了良好的效果。而對于龍格函數(shù)f（x）=11+25x2，x∈（-1，1），高次插值出現(xiàn)了龍格現(xiàn)象，即區(qū)間中間部分逼近效果非常好，而區(qū)間兩邊出現(xiàn)非常大的震蕩。通過這兩個案例的比較分析，讓學生自己總結出光靠增加節(jié)點個數(shù)提高插值的逼近效果不可行，需要另找辦法。龍格現(xiàn)象是插值理論的重要知識點，在課堂教學中學生對該現(xiàn)象只停留在理論上，通過該實驗案例的分析，學生在自己做出龍格現(xiàn)象圖形的時候，能加深對龍格現(xiàn)象和拉格朗日插值的缺點的理解。而對于學生普遍會存在疑問，龍格現(xiàn)象只是龍格函數(shù)的特有現(xiàn)象嗎？y=sin（x），x∈（-2π，2π）不會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象嗎？可提示學生繼續(xù)對沒有出現(xiàn)龍格現(xiàn)象的函數(shù)增加插值節(jié)點，觀察龍格現(xiàn)象是否是所有函數(shù)的共有特點，并且這可以留作實驗作業(yè)讓學生課后自己完成。
4.此案例提供一個提高逼近效果的方法，就是分段插值
利用分段插值，可以在增加節(jié)點個數(shù)的情況下，保持插值次數(shù)不增加，從而保證的插值效果。學生通過此案例可以理解為什么介紹完整體插值后還需要講解分段插值，老師在以后介紹數(shù)值積分中的復化積分公式的時候，進行比較講解。5.通過切比雪夫點的插值案例，提示學生分段插值不是提高逼近效果的唯一方法，通過改變節(jié)點的選取，把原來的等距節(jié)點變?yōu)閰^(qū)間上正交多項式的零點，可以在增加節(jié)點個數(shù)，讓拉格朗日插值的逼近效果也相應提高而不會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。這個案例可以和以后數(shù)值積分中的高斯求積公式配合，讓學生了解正交多項式的零點在函數(shù)逼近方面的重要應用。并且在介紹完[-1，1]上的切比雪夫點插值后，可以預留作業(yè)，讓學生在其他區(qū)間上尋找正交多項式零點進行拉格朗日插值，讓學生對正交多項式理論加深印象，為以后數(shù)值積分的高斯求積公式的介紹鋪墊。
二、結束語
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
函數(shù)是數(shù)學中最主要的概念之一，而函數(shù)概念貫穿在中學數(shù)學的始終，概念是數(shù)學的基礎，概念性強是函數(shù)理論的一個顯著特點，只有對概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應用。本課中學生對函數(shù)概念理解的程度會直接影響數(shù)學其它知識的學習，所以函數(shù)的第一課時非常的重要。
2、教學目標及確立的依據(jù)：
教學目標：
（1）教學知識目標：了解對應和映射概念、理解函數(shù)的近代定義、函數(shù)三要素，以及對函數(shù)抽象符號的理解。
（2）能力訓練目標：通過教學培養(yǎng)學生的抽象概括能力、邏輯思維能力。
（3）德育滲透目標：使學生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯(lián)系和相互制約的辯證唯物主義觀點。
教學目標確立的依據(jù)：
函數(shù)是數(shù)學中最主要的概念之一，而函數(shù)概念貫穿整個中學數(shù)學，如：數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等都是以函數(shù)為中心的代數(shù)。加強函數(shù)教學可幫助學生學好其他的數(shù)學內(nèi)容。而掌握好函數(shù)的概念是學好函數(shù)的基石。
3、教學重點難點及確立的依據(jù)：
教學重點：映射的概念，函數(shù)的近代概念、函數(shù)的三要素及函數(shù)符號的理解。
教學難點：映射的概念，函數(shù)近代概念，及函數(shù)符號的理解。
重點難點確立的依據(jù)：
映射的概念和函數(shù)的近代定義抽象性都比較強，要求學生的理性認識的能力也比較高，對于剛剛升入高中不久的學生來說不易理解。而且由于函數(shù)在高考中可以以低、中、高擋題出現(xiàn)，所以近年來高考有一種“函數(shù)熱”的趨勢，所以本節(jié)的重點難點必然落在映射的概念和函數(shù)的近代定義及函數(shù)符號的理解與運用上。
二、教材的處理：
將映射的定義及類比手法的運用作為本課突破難點的關鍵。函數(shù)的定義，是以集合、映射的觀點給出，這與初中教材變量值與對應觀點給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數(shù)概念的理解帶來更大的困難。為解決這難點，主要是從實際出發(fā)調(diào)動學生的學習熱情與參與意識，運用引導對比的手法，啟發(fā)引導學生進行有目的的反復比較幾個概念的異同，使學生真正對函數(shù)的概念有很準確的認識。
三、教學方法和學法
教學方法：講授為主，學生自主預習為輔。
依據(jù)是：因為以新的觀點認識函數(shù)概念及函數(shù)符號與運用時，更重要的是必須給學生講清楚概念及注意事項，并通過師生的共同討論來幫助學生深刻理解，這樣才能使函數(shù)的概念及符號的運用在學生的思想和知識結構中打上深刻的烙印，為學生能學好后面的知識打下堅實的基礎。學法：四、教學程序
一、課程導入
通過舉以下一個通俗的例子引出通過某個對應法則可以將兩個非空集合聯(lián)系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全體同學分別看成是兩個集合，問，通過“找好朋友”這個對應法則是否能將這兩個集合的某些元素聯(lián)系在一起？
二.新課講授：
（1）接著再通過幻燈片給出六組學生熟悉的數(shù)集的對應關系引導學生總結歸納它們的共同性質（一對一，多對一），進而給出映射的概念，表示符號f：AB，及原像和像的定義。強調(diào)指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的對應法則f。進一步引導學生總結判斷一個從A到B的對應是否為映射的關鍵是看A中的任意一個元素通過對應法則f在B中是否有唯一確定的元素與之對應。
（2）鞏固練習課本52頁第八題。
此練習能讓學生更深刻的認識到映射可以“一對多，多對一”但不能是“一對多”。
例1.給出學生初中學過的函數(shù)的傳統(tǒng)定義和幾個簡單的一次、二次函數(shù)，通過畫圖表示這些函數(shù)的對應關系，引導學生發(fā)現(xiàn)它們是特殊的映射進而給出函數(shù)的近代定義（設A、B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f，使得A中的任何一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應則這樣的對應叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及從A到B的對應法則f），并說明把函f：AB記為y=f（x），其中自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y（或f（x））值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）：x∈A}叫做函數(shù)的值域。
并把函數(shù)的近代定義與映射定義比較使學生認識到函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系。（函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射）。
再以讓學生判斷的方式給出以下關于函數(shù)近代定義的注意事項：
2.函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射。
3.f表示對應關系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣。
4.f（x）是一個符號，不表示f與x的乘積，而表示x經(jīng)過f作用后的結果。
5.集合A中的數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的唯一性。
6.“f：AB”表示一個函數(shù)有三要素：法則f（是核心），定義域A（要優(yōu)先），值域C（上函數(shù)值的集合且C∈B）。
三.講解例題
例1.問y=1（x∈A）是不是函數(shù)？
解：y=1可以化為y=0*X+1
畫圖可以知道從x的取值范圍到y(tǒng)的取值范圍的對應是“多對一”是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射，所以它是函數(shù)。
[注]：引導學生從集合，映射的觀點認識函數(shù)的定義。四.課時小結：
1.映射的定義。
2.函數(shù)的近代定義。
3.函數(shù)的三要素及符號的正確理解和應用。
4.函數(shù)近代定義的五大注意點。
五.課后作業(yè)及板書設計
關鍵詞：抽象函數(shù)；定義域；值域；對稱性
抽象函數(shù)是一種重要的數(shù)學概念。我們把沒有給出具體解析式，其一般形式為y=f(x)，且無法用數(shù)字和字母的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。由于抽象函數(shù)的問題通常將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖像集于一身。這類問題考查學生對數(shù)學符號語言的理解和接受能力、對一般和特殊關系的認識以及數(shù)學的綜合能力。
解決抽象函數(shù)的問題要求學生基礎知識扎實、抽象思維能力、綜合應用數(shù)學能力較高。所以近幾年來高考題中不斷出現(xiàn)，在2009年的全國各地高考試題中，抽象函數(shù)遍地開花。但學生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心。下面通過例題全面探討抽象函數(shù)主要考查的內(nèi)容及其解法。
一、抽象函數(shù)的定義域
例1已知函數(shù)f(x)的定義域為[1,3]，求出函數(shù)g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的定義域。
解析：由由a＞0
知只有當0＜a＜1時，不等式組才有解，具體為{x|1+a＜x≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說明當且僅當0＜a＜1時，g(x)才能是x的函數(shù)，且其定義域為（1+a,3-a]。
點評：1.已知f(x)的定義域為[a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
二、抽象函數(shù)的值域
解決抽象函數(shù)的值域問題——由定義域與對應法則決定。
例2若函數(shù)y=f(x+1)的值域為[-1，1]求y=(3x+2)的值域。
解析：因為函數(shù)y=f(3x+2)中的定義域與對應法則與函數(shù)y=f(x+1)的定義域與對應法則完全相同，故函數(shù)y=f(3x+2)的值域也為[-1，1]。
三、抽象函數(shù)的奇偶性
四、抽象函數(shù)的對稱性
例3已知函數(shù)y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關于y=x對稱,則g(x)+g(-x)的值為（）
A、2B、0C、1D、不能確定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函數(shù)為y=，y=f(2x+1)是奇函數(shù)，y=也是奇函數(shù)，。，，而函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關于y=x對稱，g(x)+g(-x)=故選A。
五、抽象函數(shù)的周期性
例4、（2009全國卷Ⅰ理）函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則()
(A)是偶函數(shù)(B)是奇函數(shù)
(C)(D)是奇函數(shù)
解:與都是奇函數(shù)
函數(shù)關于點，及點對稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)。故選D
定理1.若函數(shù)y=f(x)定義域為R，且滿足條件f(x＋a)=f(x－b)，則y=f(x)是以T=a＋b為周期的周期函數(shù)。
定理2.若函數(shù)y=f(x)定義域為R，且滿足條件f(x＋a)=－f(x－b)，則y=f(x)是以T=2（a＋b）為周期的周期函數(shù)。
定理3.若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a與x=b（a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2(b－a)為周期的周期函數(shù)。
定理4.若函數(shù)y=f(x)的圖像關于點（a,0)與點(b,0),(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2(b－a)為周期的周期函數(shù)。超級秘書網(wǎng)
定理5.若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a與點(b,0),(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=4(b－a)為周期的周期函數(shù)。
性質1：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x)(a≠b,ab≠0),則函數(shù)f(x)有周期2(a－b)；
性質2：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=－f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),則函數(shù)有周期2(a－b).
特別：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期2a.
性質3：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)(a≠b,ab≠0)，則函數(shù)有周期4(a－b).
特別：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期4a。
從以上例題可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)的考查范圍很廣，能力要求較高。但只要對函數(shù)的基本性質熟，掌握上述有關的結論和類型題相應的解法，則會得心應手。
關鍵詞:指數(shù)函數(shù);教學設計;教學案例;多媒體;有效教學
指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學的重點內(nèi)容之一，從教學要求看，一是理解指數(shù)函數(shù)的定義;二是掌握指數(shù)函數(shù)的圖像與性質。下面是筆者在公開教學中對指數(shù)函數(shù)教學設計的三處改進。
案例一:新課引入的改進
(一)原始設計
1.復習舊知:
②函數(shù)y=x的定義域是
2.引入新課:師問:函數(shù)y=()與函數(shù)y=x，從形式上看有什么不同?生答:從形式上看，前者指數(shù)是自變量，后者底數(shù)是自變量。(引入課題)
(二)改進設計
1.創(chuàng)設情境:有人說，將一張白紙對折50次以后，其厚度超過地球到月球的距離，你認為可能嗎?設白紙每張厚度為0.01mm，已知地球到月球的距離約為380000千米。
對折的層數(shù)y與對折次數(shù)x的函數(shù)關系式是什么?設紙的原面積為1，對折后紙的面積z與對折次數(shù)x又有什么關系?(y=2x，z=()x)
2.提出問題:師問:能發(fā)現(xiàn)y=2x，z=()x的共同點嗎?
學生思考片刻，教師提示:從形式上，有什么共同點?并用紅粉筆標出指數(shù)x。
生答:指數(shù)x是自變量，底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)。(引入課題)
(三)教學反思
凱洛夫的“五環(huán)節(jié)”教學理論:“復習舊課—導入新課—講授新課—鞏固—作業(yè)”目前還深深地影響著我們的教學。但如果總是這樣一成不變，就顯得呆板與程式化。我們現(xiàn)在上課總喜歡說:“今天我們學習……”。教師不說，學生不問，教師怎么講，學生就怎么學。我們知道，數(shù)學來源于生活，又應用于實踐。在原始設計中，先復習與新授知識相關的內(nèi)容，然后再從實際引入新課，與教材編排相一致，這樣就數(shù)學講數(shù)學，顯得枯燥無味，很難調(diào)動學生的學習興趣。為此，從學生感興趣的一個生活實例出發(fā)，引起學生注意與爭議，教師再創(chuàng)設實際問題情境，就激發(fā)了學生的學習興趣，牢牢地吸引了學生的注意力，增強了學生的求知欲望，強化了學生內(nèi)在的學習需求，巧妙地導入了新課。
案例二:多媒體使用的改進
(一)原始設計
1.電腦作圖:教師用多媒體演示y=2x、y=()x的作圖過程。
2.觀察猜想:教師引導學生觀察y=2x、y=()x的圖像，猜想y=3x的圖像形狀。
3.電腦驗證:教師用幾何畫板做出y=3x的圖像，驗證猜想。
4.歸納猜想:由特殊到一般，給出指數(shù)函數(shù)的圖像分為01兩類，并用多媒體演示它們的圖像特征和性質。
(二)改進設計
1.學生作圖:在教師的指導下學生分組后用幾何畫板作y=2x、y=()x的圖像。然后，讓學生在電腦上作y=3x，y=5xy=10x，y=0.2x，y=0.7x等函數(shù)的圖像，并對圖像形狀的變化加以觀察與討論。
2.猜想形狀:讓學生猜想函數(shù)y=8x，y=0.3x的圖像形狀，師生討論，并列出有關觀察結論。
3.分組探究1:一般地指數(shù)函數(shù)的圖像大致有幾類(幾種走勢)?
4.分組探究2:分別滿足什么條件的指數(shù)函數(shù)圖像大致是圖1、圖2?
5.電腦驗證:用幾何畫板作y=ax(a>0且a≠1)圖像，任意改變a的值，展示底變化對圖像的影響。
(三)教學反思
原始設計，多媒體演示放在猜想之后，僅僅起了一個驗證的作用，體現(xiàn)不了計算機輔助教學的目的，有點畫蛇添足，成了一種花架子。
改進之后，按照“動手操作—創(chuàng)設情境—觀察猜想—驗證證明”的思路設計，首先電腦作圖，為學生觀察、交流創(chuàng)設情境;然后，引導學生深入細致地觀察圖像，學生在相互爭論、研討的過程中進行民主交流，傾聽他人意見，分享研究成果，猜想出圖像分兩種情形;最后，再用多媒體驗證猜想。這樣設計符合學生的認知規(guī)律和思維習慣，激發(fā)了學生的求知欲，增強了學習的自信心，張揚了學生的個性，順利地解決了這一教學難點。
我們在使用計算機輔助教學時，千萬不要忘記“輔助”二字，輔助在不用多媒體教學時的難點處，輔助在點子上，而不能為了用多媒體而用多媒體。案例三:指數(shù)函數(shù)的性質發(fā)現(xiàn)過程的改進
(一)原始設計
1.師生作圖:教師作y=2x的圖像，以作示范。然后學生模仿作y=()x的圖像，以鞏固作圖方法。
2.電腦演示:教師用多媒體演示y=2x、y=()x的作圖過程。
3.觀察特征:教師引導學生觀察上述兩個圖像的特征，并推廣到一般情形。
4.歸納性質:根據(jù)圖像特征，寫出它們的性質。
(二)改進設計
在前面學生分組用多媒體做出y=2x，y=()x，y=3x，y=5x，y=10x，y=0.2x，y=0.7x等函數(shù)圖像的基礎上，教師引導學生觀察、討論、歸納得出性質。
1.自主觀察:對一般的指數(shù)函數(shù)，圖像有哪些特征?
2.分組討論:學生分組討論后，展示討論的結果。除得到圖像的一般特征，更值得一提的是，有的學生還說出了函數(shù)y=2x與y=()x的圖像關于y軸對稱等特征。
3.歸納性質:根據(jù)圖像特征，寫出它們的性質。
4.作示意圖:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，教師讓學生作出y=8x，y=0.6x等函數(shù)圖像的示意圖。
師:觀察與猜想是一種感性認識，并不表示結論一定正確，還需要進行理性證明……
(三)教學反思
新課程標準指出:要改變課程實施過于強調(diào)接受學習、死記硬背、機械訓練的現(xiàn)象，倡導主動學習、樂于探究，勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析解決問題的能力及交流合作的能力。因此，教師要把學習過程中的發(fā)現(xiàn)、探究、研究等認知活動突顯出來，使學習過程更多地成為學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題及解決問題的過程。
上述兩種設計都注重讓學生從事有意義的數(shù)學活動，都涉及了學生的探索活動和經(jīng)常使用的研究方法，如從特殊到一般，再由一般到特殊，類比、聯(lián)想、猜想等。
原始設計在實際教學中，活動缺乏內(nèi)在聯(lián)系，加上教師的束縛，活動單一，學生得出圖像分兩類顯得較為生硬，接著研究的一般情形又似乎來得“突然”，從特例到一般情形并未起到搭橋引渡的作用，形成了一個認知難點。這樣的設計沒有真正發(fā)揮學生的主體作用，實際上還是教師主導著課堂，牽著學生走，還是在教知識、教教材，是一種主導性教學模式。
改進后，改變了教學方法，教師放棄了全程主導，把學習的主動權交給了學生，由他們自己去觀察、去發(fā)現(xiàn)，在學生交流、研討、互動的過程中，學生觀察深入，思維活躍，富有創(chuàng)造性。教師則以學生伙伴的角色參與學生的認知學習，在與學生的互動交流中指導學生，并積極地關注、傾聽學生的交流。這樣設計符合學生的認知規(guī)律和思維習慣，為學生營造了安全的心理環(huán)境，學生非常順利地學習了指數(shù)函數(shù)的性質，而且學生覺得這些思想方法是非常自然的，可以學到手且以后能用得上，為今后的學習作了必要的鋪墊，這是一種典型的指導性教學模式。
學生是學習的主人，自主學習是他們的天然權利，任何硬性灌輸和強制訓練都是侵犯學生學習的行為。
參考文獻:
[1]羅文杰.指數(shù)函數(shù)的教學設計[J].廣東教育，2007，(7):205-207.
