時間：2023-06-18 10:35:52
序論：在您撰寫數學與基礎數學時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導您走向新的創(chuàng)作高度。
一、經驗性教學資源
經驗性課堂教學資源的含義是指以老師學生在日常生活中所共有的經驗為依托，在此基礎上將數學學習的相關內容與之結合，使學生能夠借助于生活經驗來了解和掌握數學知識與技能。
例如教師在進行“加減法的一些簡便計算”相關內容教學的時候，學生對于“2938+198=2938+200―2”和“2938―198=2938―200+2”這樣一類含有簡單算理在內的簡算過程不是太容易接受，這是因為學生在當前階段還沒有具備一定的數學思維，即使這是一種最為簡單的數學思維。為此，教師在生活的寶庫中尋找相似場景，相關的可供使用的原型很多，譬如發(fā)工資獎金加班費、在柜臺買東西找零、在水果批發(fā)市場稱重、物資庫內物資的出入庫等等。考慮到最為貼近學生的生活，教師選取了“發(fā)工資獎金”和“柜臺買東西找零”的場景進行了模擬，分別將“2938+198=2938+200―2”與“2938―198=2938―200+2”的數字表達轉化為“甲一個月工資2938元，因為某周六加班一整天，單位會計又額外補發(fā)給他198元，會計給他兩張一百元面值的鈔票，甲找出兩塊錢硬幣給會計”和“甲隨身帶了2938元現金去商場購買了一雙198元的鞋，甲拿出兩張一百面值的鈔票，收銀員找了他兩塊錢的硬幣”，同時教師也讓學生來進行模擬操作。
在學生模擬完成之后，教師及時總結出“先補整，后找零”的簡單算理，這樣的一種經驗型隱性課程資源的開發(fā)不僅使學生掌握了簡單算法，而且對于數學思維有了最為基本的接觸，更為重要的是親自將數學與生活進行了結合，這一切對于學生來說都是“脫離了書本的新鮮事物”，與此同時，學生們看待數學的眼神正在悄悄的改變著。
二、生成性教學資源
生成性教學資源的含義是指在教學中，根據學生對于學習內容的反應（行為或者語言上的表現），并靈活選取其中的具體內容，輔以教師的引導，從而將自己的教學通過學生的反應來進行有機的聯系，將教學以一種易被學生接受的方式高效的進行。這樣的教學方式叫做生成式教學，在這之中，學生的一些對于教學有很好幫助的反應（基本上是以語言的形式來表達，是思維的反映）就可以稱之為生成性教學資源。
例如，在教學“統(tǒng)計”的時候，教師設計了FLASH動畫，以空白球場和籃球、足球、排球、橄欖球、網球、羽毛球、乒乓球等若干種學生較為熟悉的球類為主體，設計制作出了“非常多的球無規(guī)則排列成一條直線依次滾進場地”的情景，這樣的情景會自然而然的促使學生特別的想知道這里面一共有幾種球，與此同時就會有學生根據自己的想法、運用自己的方法來對其進行統(tǒng)計。
動畫播完之后教師對學生進行提問“畫面中一共有多少只球？”、“這里面有幾種球？”、“每種球有幾只？”
隨即有學生回答“多少只球沒有數，但是我看清楚了這里面有七種不一樣的球！”
師：那么有誰將動畫里出現的球的總數數清楚了？
生1：老師，我數清楚了，應該是99只球。
師：不錯，那么又有誰知道每一種球分別有多少只呢？
生2：這個還真沒有數清楚！
生3：老師，我喜歡足球，我就盯著足球看了，好像一共有10只足球。
師：非常好！這位同學數出了足球的個數！那么有沒有其他同學數了其他的球呢？
生：沒有。
師：那么我們再看一遍好不好，每個同學都自己數一遍，看看能不能數清楚！
生：好！
學生們再次觀看動畫！在這之前，“統(tǒng)計”的相關概念已經通過老師和學生問與答具化為“數清楚每一種球類的個數”，于是學生們開動腦筋，使用自己的辦法，依據自己的能力，或自力或合作，運用了各種方式，將各種球類的個數清楚了，而緊接著教師再次運用規(guī)范語言對“統(tǒng)計”進行簡介，相輔相成，便將統(tǒng)計教好教透，學生在此過程中不僅收獲了知識也收獲了意識與能力的提升。
三、錯誤性教學資源
錯誤性教學資源的含義是教師對于教學過程中出現的錯誤（以學生學習中的錯誤為主，教師在教學中原則上不能出錯，除非錯的恰到好處精妙異常）予以改正或“將錯就錯”，以使學生的思維得到拓寬。
例如，在學習角的過程之中，教師為了拓展學生對于角的理解和把握，于是采用提問的方式，要求學生說出生活中出現的角。
生1：墻角。
生2：桌角。
生3：菱角。
師：什么菱角？
生3：菜市場有的賣的那個好吃的菱角。
師：哦，吃的?。。ń處熞詾樵搶W生在開玩笑，一時也沒有反應過來，所以語氣與表情都帶有質疑的涵義）
學生們瞬間哄笑開來。該學生臉漲得通紅，很無辜的說：“菱角雖然可以吃但是它的確也是角?。∧憧磧蓚€尖的，有的側面也有兩個尖的，可以說是銳角的一種變形?！?/p>
教師瞬間的冷靜了下來，一點都沒有錯，菱角真的也是有好幾個角，只是不規(guī)范而已！
于是教師快速的進行應變，請該學生對他的答案進行解釋，同學們聽了之后，在覺得該同學的觀察細致入微的同時也暗自要求自己要更加的細膩。
這就是一種由錯誤引出的隱性教學資源。
全面貫徹黨的教育方針，深化教育改革，推進素質教育，是當前我國教育改革的重要任務。教育部計劃從2001年秋季開始，用大約五年左右的時間在全國推行義務教育新的課程體系。在新一輪基礎教育課程改革中，在理念、目標、結構、內容、實施、評價等方面較以往的課程有了重大的突破和創(chuàng)新，對廣大中小學教師和教育工作者提出了許多新的更高的要求，對培養(yǎng)教師的高等師范院校提出了嚴峻的挑戰(zhàn)。高師數學教育面對課改帶來的一系列變化，應采取積極的策略應對這些挑戰(zhàn)，不僅有利于保障課改的順利實施，也有利于推動高師教育自身的發(fā)展。
一、基礎數學課改對高師數學教育的挑戰(zhàn)
基礎數學課程改革具有很強的系統(tǒng)性，是真正意義上的課程文化創(chuàng)新，是一場深刻的課程文化變革，它將改變學生沿襲已久的被動接受的學習方式，同時也將改變教師的角色，教師從“兒童的保姆”、“小樹的園丁”、“知識的批發(fā)商”轉變?yōu)?ldquo;教學活動的組織者”、“學生成長的促進者”、“課程結構的研究者”?；A教育數學課程改革向培養(yǎng)中小學數學教師的高師數學教育提出了嚴峻的挑戰(zhàn)。
挑戰(zhàn)一：教育理念的更新
新舊課程的本質區(qū)別是教育理念的不同。舊課程觀認為課程是知識，教師是知識的傳授者，教師是中心，學生是知識的接受者，而新課程觀認為課程不僅是知識，同時也是經驗，是活動；課程不僅是文本課程，更是體驗課程；學生獲取知識的過程是自我構建的過程，是師生共同探究新知識的過程。舊課程認為課程就是教材，教材又是知識的載體，而新課程觀認為課程是教材、教師、學生、環(huán)境等因素的整合，是一個生態(tài)系統(tǒng)；師生是課程資源的開發(fā)者，共創(chuàng)共生，形成學習共同體。目前，師范在校生接受的是傳統(tǒng)的數學教育，陳舊的教學理念在頭腦里根深蒂固。而基礎數學課程改革能否取得成功的核心問題是數學教育理念能否轉變?yōu)榻處煹慕虒W行為，陳舊的教育理念很難保證高師生在未來數學教學中適應基礎教育數學課程的改革。
挑戰(zhàn)二：教育目標的多維性
傳統(tǒng)的應試教育由于過分注重知識的傳授和學科本位，強調知識和技能的獲得，學生被動學習，死記硬背，機械訓練，大部分學生失去了學習數學的興趣，90%的學生陪10%的學生學習數學。新課程數學教育是“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀”三維一體的培養(yǎng)目標，不只是讓學生獲得必要的數學知識和技能，還包括在啟迪思維、解決問題、情感與態(tài)度等方面的發(fā)展；讓學生愿意親近數學、了解數學，學會用數學的眼光去認識自己所生活的環(huán)境和社會；學會“做數學”和“數學地思考”；發(fā)展學生的理性精神、創(chuàng)新意識和實踐能力，培養(yǎng)學生克服困難的意志力，建立自信心等。但目前的師范生，大多采用被動接受的學習方式，重結果輕過程，重套用輕創(chuàng)造，重理論輕實踐；對學生情感、態(tài)度和價值觀的培養(yǎng)不夠關注，這樣培養(yǎng)的數學教師與素質教育要求的新型教師是不相符的。
挑戰(zhàn)三：數學課內容的整合性
基礎教育數學課程與原課程相比較有重大變化，一是教材內容的變化。增加了一些有用的、與日常生活緊密的內容，如視圖與投影，數據處理，數學建模，算法，信息安全與密碼，測量，二維與三維圖形的轉化，風險決策等，這些內容在高師數學專業(yè)課中比較薄弱，有些甚至是沒有覆蓋的。二是教學內容的變化。教學內容不僅僅是教材，還包括教師、學生、教材和環(huán)境等因素的整合，因為這些因素對學生的教育和影響遠遠大于學生在課本上學到的東西。這就向傳統(tǒng)的、有缺陷的高師數學課內容提出了挑戰(zhàn)。
挑戰(zhàn)四：教學活動中角色的轉變
素質教育提出：數學教學應該是數學活動的教學，是師生之間交往互動與共同發(fā)展的過程，是以學生學習興趣和內在需要為基礎，以主動探索、變革、改造活動對象為特征，以實現學生主體能力綜合發(fā)展為目的的主體活動。學生是教學活動的主人，教師是組織者、引導者和合作者，教師要從學生的實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流獲得知識、形成技能、發(fā)展思維、學會學習，關注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每個學生都能得到充分的發(fā)展。而目前高師數學教學中，教師基本上是“滿堂灌”，教學過程呆板，缺乏探究和學生的主動參與，缺乏相互的合作和交流。學生是忠實的聽眾，被動地圍繞上課、作業(yè)和考試轉，缺乏主動探索精神，這樣的教學活動不利于師范生從學生向新型教師角色的轉變。
二、高師數學教育的應對策略
在我國教育戰(zhàn)略、政策、體制改革的大背景下，隨著教師教育改革的不斷深入，高等師范院校在未來教師培養(yǎng)方面所面臨的挑戰(zhàn)應予高度重視。針對當前我國基礎教育正在進行大規(guī)模的改革，中小學數學課程出現前所未有的變化，高師數學教育“教什么、怎么教”，如何使培養(yǎng)的學生適應基礎教育數學課程改革的發(fā)展要求，是需要深入研究的問題。筆者認為高師數學教育面對基礎數學課改的挑戰(zhàn)應做好五個“轉變”：
策略一：教學內容的轉變
高師數學教育類課在很大程度上仍然沒有跳出“數學+教育學”的傳統(tǒng)框架，所開設的課程基本上是純數學的，重在專業(yè)基礎知識的培養(yǎng)，這當然是必須是。但素質教育要求數學必須與其他學科和生活實際相聯系，更注重實用性，更注重師范生的數學素養(yǎng)和師范技能的培養(yǎng)，使師范畢業(yè)生在具有扎實的專業(yè)基礎知識的同時，還要具有應用意識、建模意識、學科綜合意識和教育現代化意識。所以，高師數學教育應調整基礎數學課程和應用數學課程，對專業(yè)必修課的內容進行整合和優(yōu)化，加強基礎性、前沿性和綜合性內容。教學內容應包括教
轉貼于
育的現展、數學學習心理學、數學教育理論與實踐、數學建模、新課程標準解讀、新教材教法研討、課例評析等，使高師數學教育達到“授人以業(yè)、授人以法、授人以道”的目的。
策略二：教學方法的轉變
恰當的教學方法是對素質教育理解的直接體現，教師的作用是通過課堂教學來體現的。傳統(tǒng)的講授法不能適應素質教育的要求。素質教育的最大特征就是由“教給學生數學的結果”轉化為“引導學生參與學習數學的過程”，這不僅僅是對中小學的要求，也是對高師的要求，更是對高師數學教師的要求。高師數學教師在教學中的地位應重新定位為數學探索活動的設計者、組織者、“導游”，數學教學必須使學生參與到數學探索活動中來，傳統(tǒng)的“以教師為中心”、“教師在課堂上起支配和決定作用”的狀況應改變，學生的主體地位應加強，讓學生在學習中進行探索并主動構建知識。發(fā)展學生自主學習、自主探索、自主構建、自主創(chuàng)造的行為模式。高師數學教師的教學行為直接影響學生的學習方式和未來的教學方式，許多有效的學習方法和教學方法是直接從教師具有示范性的教法轉化而來的。
策略三：教學模式的轉變
由于同一年級學生的知識、能力、背景和理想等因素的不同，傳統(tǒng)的同一的教學模式與分化的學生之間存在的矛盾比較突出：“比較差”的學生跟不上，“優(yōu)秀”的學生感到吃不飽；立志從教的學生（假設為a層）覺得師范技能培養(yǎng)不夠，立志進一步深造的學生（假設為b層）感到專業(yè)知識需要提高。分層次教學模式是解決這一矛盾的有效方法。對不同的學生制定不同的教學目標和教學內容，提出不同的要求：a層學生應達到中學教師的基本要求，b層學生在知識能力達到較高要求的同時應在創(chuàng)新和應用上有所拓展。
策略四：學習方式的轉變
長期以來，相當數量的學生幾乎是從小學開始面對應試的競爭，并隨著年級的升高愈演愈烈，這對學生的學習方式產生了許多不良影響：讀死書和死讀書；死記硬背概念、公式、性質、定理和解題方法；搞題海戰(zhàn)術；不習慣于合作和探索?，F代數學教育理論研究的一個重要成果是獲得了關于學生學習活動本質更為深刻的認識：這是一個以其已有的知識和經驗為基礎的主動建構的過程，是一個社會的過程。學生的學習活動不應只限于對概念、結論和技能的記憶、模仿和接受。高師院校應充分利用自己的課程資源和各種信息技術作為學生學習數學的平臺，給學生自由學習的時間和空間，為學生創(chuàng)造充分的條件，在獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學和課題研究中體驗數學的本質和學習數學的樂趣，學會“做數學”的方法。
策略五：學習評價方式的轉變
關鍵字：數學學習；理性思維；思維模板教學法
對絕大部分運動員來說，學習數學這門課程對他們而言是很痛苦的。所以在數學課堂上，除了少數幾個能夠一直跟著老師的思路學習的，其他的人不是睡覺，就是在做自己的事情。毫無疑問，這些運動員的數學成績在考試的時候基本上都是在掛紅燈籠。作者在上海體育職業(yè)學院上數學課也將近兩年了，各個年齡層次，各個基礎層次的學生也接觸了不少，以上的情況基本上都出現在每個年級，每個班。課后，與他們交流為什么不想學數學，他們的回答也都很實在：“學數學做什么，只要錢不會數錯，不就行了!”“你給我們的那些什么推導啊、公式什么的，有什么用啊，以后又不會用到?！痹诼犃诉@些話后，作為一名教育者，真是心酸又好笑，都是十六七歲快成年的人了，對于數學，對于科學的看法怎么還跟小朋友差不多呢，思考問題還是停留在表面，缺乏深度，這不免讓人對他們在以后的學習和工作產生擔憂。
一、運動員對數學產生厭學情緒的原因
數學本身就是一門系統(tǒng)性很強，連貫性很強的學科，首先對學生的出勤率就有要求。而我們的運動員，尤其是我們體育職業(yè)學院附中的優(yōu)秀運動員對于這點本身就很難做到，每年在十月到十二月份，三月至六月份，外出集訓或者各類大小的比賽致使他們無法正常地坐在教室里面聽課，以至于回來之后，老師當堂講的內容他們消化不了，再加上訓練過后的疲勞，自然而然教室里面趴倒一大片，這是其一。
其二，就如上文提到的，很多學生對于數學的認識就有誤解，認為學習數學是可有可無的，以后也用不到。其實，這個原因也與他們從小到大文化學習的不完整、不連貫有關。如果是普通全日制的學生，他們應該有了解，學習數學不僅僅是教我們學會算數，這只是學數學的表面層次，更重要的是，學習數學知識是培養(yǎng)我們理性思維的載體。在我們國家，運動員都有一個很普遍的性格特征，在對待問題方面，他們不是缺乏解決問題的膽量，而是缺乏思考，做事情比較沖動，考慮問題不是很周全，我認為這與他們數學學科學習的薄弱性是有很大關系的。
二、學習基礎數學的重要性與必要性
其實，我們的小學數學，初中數學，高中數學都是有很強的系統(tǒng)性的，只不過，這個知識系統(tǒng)的復雜程度不一樣。前面，我們也說到，學習數學，不只是單純的學習數學知識（概念、定理、公式等等），更重要的是以數學知識為載體培養(yǎng)理性思維。這種素質的培養(yǎng)對運動員而言，無疑是非常必要的。例如，在解數學證明題時，我們由已知能得到什么，條件預示可知并啟發(fā)解題手段，導出結論需要什么，它預告需知并誘導解題方向。如果由已知條件能直接得到結論，則解題成功；如果由條件不能直接得到結論，就要轉化，轉化必須等價，因此前一步到后一步往往會有附加條件約束，它是正確解題的前提，也是檢驗的依據，可以是數形結合，可以是變形（恒等變形或非恒等變形），可以構造模型，也可以用辯證思想作指導，等等。各種思想方法在此大有用武之地。
三、如何做到有效地學習數學
由于客觀原因的存在（學習時間有限，無可避免地缺課），在目前我們無法改變客觀存在的時候，我們只能在現有的基礎上實現最有效的教學。
第一，教材的處理。
目前，就數學教材而言，我們所用的還是全日制普通中學的教材，如果按照教材上既定的課時進行教學的話，一是難度較大，二是課時任務緊張。這就要求我們老師在備課的時候，結合運動員的學習特點，將難度降低（降低到最簡單），對課時進行壓縮（壓縮到一學期課時任務的三分之二）。這樣，不僅減輕了學生學習的任務，而且使課堂的有效性學習得到提高。
而對于長時間不能上課的運動員，在他們也要考試的時候，我們也可以將這些內容以“常識”的形式介紹給他們。之前，我在給一個海事大學大三的運動員補數學的時候，發(fā)現他連對數是什么形式的都不知道，這種情況在當今這個時代應該算是荒唐的，對此，讓他再重新學習數學沒有必要也沒有時間，那么，就給他辯證地介紹對數的起源，既學到了知識，又減輕了負擔，而且還具體地了解了辯證思維的一個實例。
第二，課堂教學。
目前全日制學校普遍倡導的是以學生為主體的教學組織形式，然而，我認為這方式還是不能完全適用于我們的運動員。
根據我們上海體職院附中運動員的學習特點與他們目前的知識結構來看，讓學生去主動地探究學習，不符合實際，而且會降低課堂學習效率，何況，他們的學習時間已經非常少了，最終的結果只是浪費時間。但是，我們可以結合教師為主導以及學生為主體的這兩種教學組織形式運用到我們的運動員學習的課堂上來。
其實，思維與語言也類似。在語言的學習初期，我們只是純粹地模仿，在熟練之后，我們才會自然而然地運用語言去演講，去寫文章，古今中外的文人騷客們創(chuàng)造出了多少流芳百世的奇聞佳話啊。同樣的，在思維的初期，我們也可以先進行模仿，也就是說把思維模板化，讓運動員去熟練各種各樣的思維模式。再結合前面的教學組織形式，我把這種教學方式成為“思維模板教學法”。
在課堂一開始的時候，這個時間段學生的思維比較活躍，老師可以對本節(jié)課的問題給出一個思維模板，并對這個思維模板進行較詳細地解釋（教師為主導）；在課堂中間的這個時間段，學生對于這個思維模板已經有了一定的了解，這個時候，可以適當地把課堂交給學生，教師可以給出一到兩個類似的問題，讓學生模仿這個思維模板進行解決問題，并給出一些獎懲制度，激發(fā)學生的學習興趣（學生為主體）；課堂尾聲，教師再重回主導地位，根據學生對這個思維模板的掌握情況的反饋，及時給出有效性的解決方案，完善課堂教學情況。這是我在教學兩年來，相對狹義地認為是對運動員的數學學習比較有效的一種方法。
第三，課后交流。
在客觀上，運動員的主要任務還是在于訓練?？紤]到這個特殊性，為了更好地教學，我們不僅要與學生及時溝通，也要和他們的教練，領隊做好溝通。前者，完全看老師；后者，雖然教務處的工作人員已經在這方面做出了很大的努力了，當然，對學生的學習情況最了解的還是老師。所以，不管是學生還是教練、領隊，都需要我們老師及時地去溝通。然而，我認為這種溝通還不夠深入，尤其是教練、領隊這塊。目前，我們的溝通都只是停留于電話和聯系單，這些都存在很大的滯后性，導致解決問題不徹底。在這里，我有一個建議，文化教師與教練或領隊進行交流互動。文化老師在沒課的情況下可以去訓練場了解運動員的訓練情況，據我觀察了解，絕大多數在學習上比較刻苦用功的運動員他們的運動成績也都比較優(yōu)秀，這其實也證實了方法是相通的，思維也是相通的道理；而教練或領隊在運動員上課的時間可以與運動員一起聽課，這對運動員的學習自然而然地就會起到一個督促作用。
以上是我對如何更好地促進運動員學習數學知識，培養(yǎng)數學理性思維的一點自己的觀點和建議，在內容和結構的嚴謹性上還存在很多不足，希望各位同行能夠多多提出指導意見。
關鍵詞：基礎數學；代數知識；融合思路
1 引言
隨著社會的發(fā)展和經濟的進步，國家越來越重視對于人才的培養(yǎng)，未來國家之間的競爭，歸根結底是人才的競爭，于是承擔教育人才和培養(yǎng)人才的教學工作也尤為重要。教育在發(fā)展，教育改革也在不斷探索，我國傳統(tǒng)的數學課堂中，將微積分學與線性代數作為兩個分開的學科進行教學，有的學校甚至要求不同的教師進行分別授課，這樣，學生在學習的過程中就會隨著趨勢將兩種知識劃分出界限，用兩種不同的思維去看待兩種課。而實際上，這兩種課型只是數學學科的一個分類，在實際的解題過程中應用著相同的數學思維，為了進一步培養(yǎng)學生的數學思維，提高數學課堂的教學質量，我們必須將兩種學科進行有意識的融合，讓基礎數學與代數知識進行有機結合，只有這樣學生才能逐步形成大數學的概念，便于學生在繼續(xù)深造的過程中更好地利用數學知識，熟練地掌握數學知識。
2 基礎數學教學與代數知識融合的必要性
基礎數學是數學的入門課程，比較偏重于探索和發(fā)現數學內部的規(guī)律和特點，是狹義的數學，是廣義數學的一個分支，我們在學校中所學習的代數、幾何以及高校中的微積分都是基礎數學的內容和組成部分。所謂的代數就是數字之間的游戲，主要研究數字之間的計算基本原理以及各種數字計算的基本方法，一言以蔽之，就是研究數字的一個學科分支。通常來說，學校的數學課從啟蒙之初首先開始教的就是基礎數學，例如我們在課堂上向學生傳授數的概念，基本的加法運算、減法運算進而逐漸拓展到乘法運算和除法運算，乃至相應的分數計算和小數計算等，拓展學生的思維，引導學生發(fā)現數字之間的規(guī)律。隨著學生認知水平的提升，以及知識積累程度的增加，在初中階段逐漸引導學生開始認識幾何圖形，從理論上的數字計算拓展到抽象數學思維的提升，很多學生在升入初中開始接觸幾何圖形后，數學成績會直線下降，他們既有的數學思維難以適應抽象的數學分析，這成為初中數學教師普遍遇到的難題。而究其原因，就在于學生對于數學圖形的認識過于晚，已經形成的數學概念難以延伸到抽象幾何圖形中去，為了提高學生的數學能力，降低初中數學教育的壓力，有必要在小學階段，甚至是學生開始接觸數學學科階段就培養(yǎng)他們的基礎數學與代數知識的融合，拓寬數學思維的廣度和深度，逐漸形成基本的數學能力。
2.1數學各學科之間相互滲透是數學發(fā)展的趨勢
數學之間的融合是教育的一個必然發(fā)展趨勢，目前一些學校已經開始著手進行綜合學科的教育探索，學生綜合能力的培養(yǎng)是未來人才教育的一個重點。在這樣的大背景之下，數學學科必然要適應教育改革的發(fā)展趨勢，在自身的教學工作中努力實現融合，這就要求基礎數學與代數知識進行有機融合。同時數學之間的知識是融會貫通的，如果強行將二者分開，不僅在教學過程中學生對知識點的理解難度會提升，而且兩個學科之間的進度存在差異，學生在理解某些基礎數學知識過程中，需要應用到的代數知識如果還沒有學習，那么整個基礎數學的教育工作就會受到影響。
2.2提高學生的學習能力
學生在數學課堂上基礎的學習能力是運用公式進行相關問題的處理，而基礎能力的培養(yǎng)則在于挖掘學生的數學思維，使其能夠獨立地發(fā)現問題并很好地解決問題。而數學是一個連貫的體系，如果分開授課，學生的思維必然會受到影響，一些數學方法的培養(yǎng)、數學方法的發(fā)現必然會受到制約。如果將基礎數學教學工作與代數知識的講解結合起來，那么學生的思維必然得到拓寬，學生的學習能力也必然會提高，教師會發(fā)現，原本的課堂難點，在學生獨立自主探究的過程中就轉化成為了簡單的知識點，解放了教師，也培養(yǎng)了學生。
2.3為學習更多的數學知識打下基礎
我們對于人才的培養(yǎng)應該是立足長遠的，立足于學生更遠、更深入的知識性的學習，學生在進入高等院校之后必然會接觸到更為深奧的數學問題，此時，數學問題的解決必須應用到相應的基礎數學與代數知識，同時需要他們之間方法的融合，如果此時才進行新的方法的教授，學生的固有思維已經根深蒂固了，教學壓力就更大了。因此，對于學生數學思維的培養(yǎng)應該是在教育的初級階段就進行相應的滲透，只有將基礎數學與代數知識的教學工作進行融合，才能更好地促進學生的學習。
3 基礎數學教學與代數知識的融合思路探究
基礎數學與代數知識之間的融合并不是簡單地將兩節(jié)課并為一節(jié)課，將兩個授課教師變成一個授課教師，它更加重視的是一種思路的融合、一種方法的融合甚至是一種觀念的融合。因此，即便我們認識到了基礎數學與代數知識進行有機融合的必要性，也樂于去嘗試融合性教學，但是在實際的課堂當中，落實過程中仍然面臨著諸多的問題。例如融合的具體模式是怎樣的，融合的主要內容如何選取，融合的知識如何傳授才能符合學生的認知水平，這些問題都有待于教育學家與一線的數學教師進行深入探討和研究。筆者具有多年一線教育經驗，同時擔任數學教材的編寫和研究工作，對于數學學科的學情和內容等都比較熟悉，因此，在不斷的課堂探索和理論分析中，逐漸形成了幾點自己的建議，下面進行詳細的說明和分析。
3.1教師要完善教學體系
學生是課堂的主體，是課堂活動的主要參與者，而教師則是課堂活動的組織者和引導者，要想將基礎數學與代數知識進行高效融合，教師首先需要建立起一套完整的教學體系。對此，我們提出了如下要求：一線數學教師要充分掌握相關數學知識，并對所有的知識點能夠進行橫縱兩個方向的獨立梳理，站在高處俯視教學工作，對于教學過程中可能涉及到的每一個知識點都具有精通的水平；教師是傳道授業(yè)解惑的主體，在教學過程中教師不必每一道題都詳細地講解和分析給學生看，但是教師必須具備將基礎數學與代數知識進行融合的方法，并能夠將這種方法很好地描述給學生，努力提高學生掌握方法的能力。當然在實際的教學工作中，由于學生的認知水平以及學習態(tài)度和學習能力的差異，學生對于知識點的領悟和分析能力是有差異的，所以在實際的教學工作中還要因人而異地進行教學體系的適當調整。
3.2將基礎數學教學與代數知識進行整體講解，合理安排教學順序
在進行基礎數學教學與代數融合的時候，教師須要根據教學需要對所教授的課程進行合理安排?；A數學授課與代數知識教學課程一般是分離的，采用將兩者融合的方法促進學生的學習存在困難，所以對課程做出合理的安排對方法的實行有很大的促進作用。在實踐中，教師可以先講解代數中的邏輯、集合映射、群、環(huán)、域等內容，針對這些內容，講解基本數學中的單變量微積分，再講解代數知識中的矩陣、行列式、矩陣空間，與這些代數知識相聯系的是多變量微積分。通過這樣的講解方式，學生能夠很清楚地認識到基礎數學知識與代數知識是密不可分的，它們之間的融合更能促進學生對數學的學習。
3.3教師在教學過程中要多設置兩者都能解答的題型
學生的固有思維一旦形成，那么就很難將其更改。所以教師在授課過程中要有意識地多設置一些必須充分運用到代數知識和基礎數學知識才能夠解答的練習題或者是家庭作業(yè)，并給學生充足的思考時間和解決時間，學生在探索過程中必然會逐漸摸索方法，實現方法融合，這樣不僅簡化了基礎數學與代數知識的融合教學過程，還培養(yǎng)了學生的融合能力和思維能力。習題是學生提升自我能力的一個重要途徑，任何的講解和方法的傳授最終都需要通過習題來進行鞏固，所以在習題的設置過程中就是教師對學生能力有方向的培養(yǎng)過程，教師在題型的設置問題上要尤為注意。
4 結語
數學學科是一切工科學科學習的基礎，無論是物理學還是化學甚至是醫(yī)學等，都離不開數學知識作為支撐，因此，無論是學校還是家長甚至是社會對于數學學科都是尤為重視的。而數學學科不同于語文等語言類的學科，它更加注重對于學生思維能力的培養(yǎng)和思維方法的探索。如果能夠將基礎數學與代數知識進行有機結合，那么學生的數學思維能力就會得到很大的提升，學生在未來的學習過程中就會不斷培養(yǎng)自己解決問題的能力，這對于學生的長遠發(fā)展是十分必要的。廣大的教育工作者必須清醒地意識到將基礎數學與代數知識進行融合的迫切性，要在實際的教學工作中進行不斷的探索和鉆研。
參考文獻：
[1]徐登明.淺談本科基礎數學教學中分析與代數知識的融合[J].大學教育，2015，（4）.
關鍵詞 小學數學 小學生 興趣 基礎學力
中圖分類號：G641 文獻標識碼：A
Talking about interest in Mathematics and Basic
Training of Primary School Students
YUAN Xu
(Shangshui County Education Department of He'nan Province, Zhoukou, He'nan 466100)
AbstractInterest is a positive, active mental state, once students are interested in mathematics, mathematics is a pleasure for them, interest due, basis of of scholastic ability in mathematics can be formed. In this paper, on the basis of exploring scholastic ability and interest, analysis of the affecting factors of the formation of basic skills in primary school students' interest, and for some of the problems in primary school mathematics teaching, put forward some suggestions for improvement.
Key wordsprimary mathematics; primary students; interest; basic scholastic ability
1 興趣與基礎學力
心理學研究表明，興趣和個體活動的“目的”與“方法”是一致的。要理解興趣的內涵，則須處理好以下兩種關系：一是直接興趣與間接興趣?！八^直接興趣是指個體對接觸的事物或參與的活動本身引起的興趣，這種興趣要求方法和結果結合在一起，主體需要的是一種及時的對活動本身的感覺和滿足，不需要在活動之外再去尋找某種事物。間接興趣是由活動成果或其它傳媒所引起的興趣。有時候，個體開始時并不對某項活動感興趣，但在活動過程中發(fā)現結果乃是自己感興趣的，于是，對于這項活動的過程也來了興趣?！雹俣桥d趣與基礎學力?；A學力指“構成一切學習之基礎的‘三基’讀、寫、算的基礎學力。”“學力結構包括知識、理解、問題解決學力、興趣、態(tài)度之中作為基礎部分的學力?！雹谛W生數學基礎學力的形成是多種心理因素綜合影響的結果，而興趣又是小學生基礎學力內在構成的重要因素。
2 興趣對小學生數學基礎學力形成的影響
興趣不僅能推動人們去尋找知識、鉆研問題、開闊視野，而且也是推動一個人走向成才的原動力。小學生一旦對數學學習產生興趣，就會持續(xù)地專心致志鉆研它，從而提高數學基礎學力。學力問題的論爭起源于日本，“現代在日本的學力論爭所缺乏的是，如何變革課程與教學的討論?！雹勰敲?，興趣對小學生數學基礎學力形成會產生什么影響？通過文獻研究，大致可概括為以下幾個方面：
（1）興趣是小學生學習的推進器。數學教師在教學過程中善于激發(fā)小學生的學習興趣，就能激活小學生學習的主體性，小學生對數學問題的認識和思考才能由被動變主動，抽象思維能力和數學基礎學力才得以形成。
（2）興趣是影響小學生學習態(tài)度的重要因素。心理學研究表明，在諸多非智力因素中，興趣是影響小學生學習主動性，影響小學生學習效率的關鍵因素之一。在數學學習過程中，濃厚的數學興趣會使小學生產生積極的學習態(tài)度，進而推動他們興致勃勃地進行數學學習，自覺地克服數學學習中所遇到的各種困難和問題。而缺乏興趣的強制性學習，只會扼殺小學生數學學習的欲望，降低他們的基礎學力。
（3）興趣影響小學生對數學學習過程的內心體驗。在小學數學教學中，教師們常常嘆息小學生數學基礎學力低下，那是因為小學生在數學學習過程中缺乏了豐富的生活體驗。唯物辯證法認為，實踐是認識的來源。因此，對生活的體驗既是小學生認知的源泉，也是小學生數學基礎學力形成的根基。離開了真實的生活體驗，小學生的數學學習就變成了“無源之水，無本之木?！苯處熤挥邪褦祵W教學落實到小學生的生活中去，才能理論聯系實際，激發(fā)小學生的數學興趣，通過小學生的數學基礎學力。
3 數學教學中小學生學習興趣與基礎學力培養(yǎng)的缺失
興趣是影響小學生數學學習的重要因素。隨著基礎教育新課程改革的不斷深化，小學數學教學與研究也越來越關注小學生學習興趣激發(fā)和基礎學力的培養(yǎng)。然而，受各種因素的影響，小學數學教學中小學生學習興趣和基礎學力培養(yǎng)還存在一定的缺失，可表現為以下幾方面：
（1）教學目標脫離小學生的發(fā)展實際。興趣和自信心是小學生不斷走向成功的前提條件。然而，目前的小學數學教學存在著較多的問題，影響了小學生的數學興趣培養(yǎng)和自信心形成。主要表現為教師把教學目標定位過高。《小學數學課程標準》強調：“數學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗基礎之上?！蹦壳斑€有不少教師對小學數學“新課標”不理解，教學目的不明確，教學中往往以“應試教育”為導向，講求“近期效益”，將數學教學過程變得過于復雜、過于抽象化，使小學生覺得數學 “高不可攀”，嚴重挫傷了小學生的數學興趣和自信，出現消沉、厭煩等情緒。
（2）教學過程脫離了小學生的生活體驗。數學知識有著顯著的系統(tǒng)性，但對學生而言，這種系統(tǒng)性不應當簡單地“被告之”，而應建立在學生的生活體驗之上，使學生在體驗中形成自主“建構”。但是，現行小學數學課堂教學的簡單、線性和機械主義，小學生只知道被動接受運算訓練和基本概念背誦，數學課堂變成了“純知識”教學，脫離了社會生活和小學生的實際，變得刻板、僵化、難以理解，課堂教學缺乏興趣、生機與活力。
（3）常規(guī)教學定勢制約了小學生的學習興趣。定勢是指由于先前的活動而造成的一種心理準備狀態(tài)，它使人以比較固定的方式去進行認知或做出行為反應。學習的有關理論告訴我們，不是所有的學生都是按照同一種方式加工信息，有點學生擅長加工圖片信息，有的學生擅長加工文字信息，有的學生擅長加工言語信息。而教師常規(guī)的“講”“練”教學定勢會使很多小學生聽不懂、學不會，長此以往，小學生的數學興趣和熱情也蕩然無存。要激發(fā)和培養(yǎng)小學生的數學興趣和基礎學力，教師必須打破傳統(tǒng)的教學定勢，以多樣化教學激發(fā)學生的興趣。
4 小學生數學興趣的激發(fā)與基礎學力的培養(yǎng)
新課程理念指導下的小學數學課堂教學應該是促進學生發(fā)展、符合學生實際的、靈活開放的、動態(tài)生成的、師生互動的教學過程。因此，提高小學生基礎學力，必須從激發(fā)小學生的興趣入手，具體措施如下：
（1）基于學生發(fā)展的小學數學教學。小學數學是解決我們生活和生成問題的一門基礎工具學科。因此，小學數學不僅僅是要教給學生一些數學知識和技能，更重要的是要讓學生懂得數學的價值，學會用數學思想思考現實生活，解決生活中的問題。這就需要小學數學教師在課堂教學中突破傳統(tǒng)模式，突出數學教學思想和方法，重視培養(yǎng)小學生學會運用數學思維方法來分析、解決實際問題的能力。做到以學生發(fā)展為主線，目標定位明確，開展多種方式的教育教學，把學生的主體地位落到實處，激發(fā)學生的數學學習興趣，引領學生對數學學習的積極投入，提高學生數學的基礎學力。
（2）提高教師的專業(yè)素養(yǎng)和教學技能。小學數學教材看似很簡單的知識內容，其實蘊涵著很深奧的道理，沒有堅實的數學根基，教師就很難把新課程的目標內容落到實處。因此，為適應小學數學新課程教學的要求與挑戰(zhàn)，教師必須不斷提高自身的專業(yè)素養(yǎng)和教學技能。一方面，教師要認真研究新課程標準和有關小學數學教育的理論研究成果開闊視野，更新知識儲備，轉變教學方式，提高教學能力，增強教學的有效性。另一方面，教師要認真研究小學生認知發(fā)展的規(guī)律，做到不以成人思維代替兒童思維，不斷提升教學智慧，努力使數學課堂成為促進學生發(fā)展的平臺，同時也是自我專業(yè)成長的舞臺。
注釋
①魏卿.教育活動中的“興趣”辨析[J].教育導刊,2006.4.
【摘要】
在《算術基礎》中，弗雷格追溯了數學表達式之不變的邏輯基礎的同時，清理了帶有主觀性和相對性的心理主義。但心理主義并沒有因此銷聲匿跡，反而在蒯因那里得到復興，而且蒯因還基于自然主義的心理主義，否定了弗雷格對數學基礎的探尋。本文試圖借由解讀弗雷格和蒯因的文本，展示數學哲學中的基礎主義與心理主義之爭，并借由弗雷格的文本對蒯因的心理主義做出回應。
關鍵詞
基礎主義；心理主義；分析性；整體論
中圖分類號：B089文獻標識碼：A
文章編號：1000-7660（2015）03-0063-07
作者簡介：劉鈺森，廣東潮州人，哲學博士，（廣州510006）華南師范大學公共管理學院、哲學研究所講師。
蒯因（W·V·Quine）在《從刺激到科學》開頭“追憶往昔”一章中提到弗雷格（Gottlob Frege）時，將弗雷格的理想概括為探尋數學知識的本質以及數學真理的基礎。他認為弗雷格和羅素、懷特海在這一方面是同路人，他們的結論是認為數學可翻譯為純邏輯，由此可以進一步推導出數學真理是邏輯真理，并且它的全部都能還原為自明的邏輯真理。蒯因認為弗雷格等人的這種觀點是錯誤的，而且哥德爾1931年的論文以及羅素1902年的發(fā)現使得弗雷格等人的理想煙消云散
。
弗雷格當年在《算術基礎》等著作中所提出的如蒯因以上所說的基礎主義
理想，否定了密爾等人關于數學的心理主義所帶有的主觀性和相對性。然而，蒯因否定弗雷格等人對數學基礎的探尋的背后，恰好是他在《真之追求》等著作中所概括的自然主義的心理主義立場。本文試圖通過從《算術基礎》到《真之追求》的解讀，展示數學哲學中基礎主義與心理主義之爭的某種面貌，也試圖基于弗雷格的文本，回應蒯因新興的心理主義。
一、弗雷格的“基礎主義”
“如果在萬物長河中，沒有任何東西是不變的，永恒的，那么世界就不再是可認識的，一切就會陷于混亂?！?/p>
弗雷格要探求的就是這種永恒不變的東西。作為一名數學家，他的這種探索是從數字入手的。比如數字1，慣常的說法是它指示一個事物；將1這個數說成屬于事物，卻沒有說明事物是哪個；這將使得每個人都可以任意理解這個名稱，關于1的同一個句子對于不同的人意味著不同的東西。心理主義會導致的這種相對主義是弗雷格所反對的。
弗雷格認為，思維本質上在哪里都是一樣的：絕不能根據對象而考慮不同種類的思維規(guī)律。不同于心理主義從具有相對性的心理表象來解釋意義，弗雷格要找的是一個客觀的外在基礎：“人們從本書將能看出，甚至像從n到n＋1這樣一條表面上專屬于數學的推理，也基于普遍的邏輯規(guī)律，而且不需要特殊的聚合思維的規(guī)律?！?弗雷格要的是在語言、數字后面的那個永恒不變的東西，他要的是一種在哪里都是一樣的“思維”、一種普遍的邏輯規(guī)律。
弗雷格力圖說明，感覺與內在圖像具備不穩(wěn)定性和不確定性，而數學概念和對象則具備確定性和明確性；因此算術與感覺根本沒有關系，內在圖像對于數學是無關緊要和偶然的。如果從心靈本質對概念進行心理學解釋，并以為由此可以得到概念的本質，那么這只會使一切成為主觀，走到底甚至會取消真。要認識到概念的純粹性質，需要大量的理性工作以追溯定義普遍的邏輯基礎：
如果定義僅僅在后來由于沒有遇到矛盾而被證明是有理由的，那么進行證明的嚴格性依然是一種假象，盡管推理串可能沒有缺陷。歸根到底，人們以這種方式總是只得到一種經驗的可靠性，實際上人們必須準備最終還是會遇到矛盾，而這個矛盾將使整個大廈倒塌。為此，我認為必須追溯到普遍的邏輯基礎……
普遍的邏輯基礎的追溯需要堅持三條基本原則：“要把心理學的東西和邏輯的東西，主觀的東西和客觀的東西明確區(qū)別開來；必須在句子聯系中研究語詞的意謂，而不是個別地研究語詞的意謂；要時刻看到概念和對象的區(qū)別?！蓖?，第8—9頁。 換言之，堅持客觀性原則，要求只在心理學意義上使用“表象”，把表象與概念和對象區(qū)別開來，前者代表心理的和主觀的，后者代表客觀的和邏輯的；堅持語境原則，要求避免將個別的心靈的內在圖像或活動當作語詞的意謂；函項原則要求的是，未充實的概念不可成為不變的客觀對象。
客觀性原則預示著弗雷格所追溯的基礎將是與具有相對性的心理表象無關的客觀邏輯基礎，它是普遍性的；而函項原則與語境原則將在獲得作為算術基礎的數定義方面起著至關重要的作用。提出這三個原則之后，弗雷格指出他那個時代的數學回到一種甚至要努力超越歐幾里得的嚴格性，那就是人們對各種概念進行嚴格的證明；而且他相信沿著嚴格證明之路，必然能獲得構成整個算術基礎的數概念以及適合于正整數的最簡單的句子。
于是在弗雷格眼中，數學本質上只要能用證明就不用歸納來獲得確證。證明的目的在于使句子的真擺脫各種懷疑，并且提供關于句子的真之間的相互依賴性的認識。句子間的真的依賴性在哲學上需要對先驗和后驗、分析和綜合做出區(qū)分。在弗雷格看來，與此區(qū)分有關的是判斷的根據（justification），而非其內容。因此，通過證明達到的根據如果是普遍的邏輯真理和一些定義，獲得的是分析的真；而根據非普遍邏輯性質的特殊知識領域的真得到證明的句子，則是綜合的。類似地，是否完全從本身不能夠也不需要證明的普遍定律得到證明，則是區(qū)分一個句子的真是否先驗的標準。
從根據而不是從內容區(qū)分真的先驗和后驗、分析和綜合，這也是弗雷格追溯基礎理想的一種體現，更直接的是，它與追溯算術基礎時所必需的嚴格證明之路密切相關：在數學領域，要盡可能嚴格地證明算術定理，避免推理串中的每個缺陷，找到證明所依據的原初真命題。比如：
2加2等于4，這不是直接的真；假定4表示3加1。人們可以如下證明這一點：
定義：1）、2是1加1；2）、3是2加1；3）、4是3加1
公理：如果代入相等的數，等式依然保持不變。
證明：2＋2＝2＋1＋1＝3＋1＝4（定義1，定義2，定義3）
所以；根據公理：2＋2＝4
弗雷格認為萊布尼茨的上述證明有缺陷，應該更精確地書寫為：
2＋2＝2＋（1＋1）
（2＋1）＋1＝3＋1＝4 同上，第16—17頁。
萊布尼茨的證明缺少2＋（1＋1）＝（2＋1）＋1，它是a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的一種特殊情況；以這條定理為前提，其它公式都能以這種方式被證明，并且每個數就能夠由前面的數定義?！拔覀兩踔翛]有關于這個數的表象，可確實就這樣把它據為己有。通過這樣的定義，數的無窮集合化歸為一和加一，并且無窮多數公式均能夠由幾個普遍的句子證明?！被谶@種證明方式，弗雷格試圖從a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的形式來說明，借助幾條普遍規(guī)律，僅從個別數的定義可以得出數公式，但這些定義既不斷定觀察到的事實，也不假設其合法性（不需要justification）。他在批評前面提到的密爾等人的聚合性思維的同時，認為數的規(guī)律不可能是歸納的真命題：歸納如果是習慣的話，“習慣（作為一種主觀狀態(tài)）完全沒有保真的能力”，“歸納必須依據概率學說，因為它至多可以使一個句子成為概率的。但是如何能夠在不假設算術規(guī)律的前提下發(fā)展概率學說，卻是無法預料的”。
弗雷格認同萊布尼茨的觀點，數學中發(fā)現的必然真的命題必須有一些原則，其證明不依賴于例子及感覺證據。他認為幾何學定理之間可以互相獨立，它們不依賴邏輯的初始規(guī)律，因而是綜合的；但經驗綜合的性質并非算術規(guī)律的性質。就數而言，每個數都有自己的獨特性，它要求關于數的科學原理是分析的，數相互之間是緊密相連的。關于數的普遍句子不必只適用于眼前存在的事實，數學的真命題“會有一系列未來使用的推理串，其用途將在于：人們不必再進行個別的推理，而是能夠立即說出這整個系列的結果?！?/p>
如果真的可以達到上面提到的作為根據的普遍句子，以便由之推導出數公式，那么這樣的句子應該是從更基本的數定義得出的。因此，接下來需要進一步考慮數的定義。
以往由于定義嘗試的失敗，數總被認為是不可定義的。把數看作事物性質，數是主觀的東西，把數解釋為集合、多或眾多，通過對不同的實物集合加以不同的命名來解釋數，這些說法都被弗雷格一一駁斥了。而對歐幾里德的“數是一種單位集合”的解釋，在指出后人的很多說法中的問題及困難之后，弗雷格提出解決困難的方法是：把一和單位做出區(qū)別。具有客觀性的“一”作為數學研究的一個對象的專名，不能是復數；相應地，單位應該是一個概念。概念不同于專名，只有當概念帶上定冠詞或指示代詞時才能被看做一事物的專名，但因此它就不是概念了。因此，“數是單位”的解釋把概念詞混淆為專名了。
弗雷格認為，“數的給出包含著對一個概念的表達”，“數的給出表達了一種獨立于我們理解的真實的東西”。上述觀點提醒我們：每一個個別的數詞是專名，它不等同于概念詞，當一個概念詞被它“充實”而飽和了之后，我們就得到了專名。在貫徹語境原則的前提下，弗雷格認為，為了獲得數這個概念作為對象的數，必須確定數相等的意義。他借助的是萊布尼茨“用一個事物替代另一個事物而不改變真，這樣的事物就是相同的”的解釋，把數相等界定為外延相等（數值的相等）。這與他在《含義與指稱》中提到的等值置換原則相一致：在邏輯中，真值相同的詞項和命題可以互相置換。我們可以由兩個等數的概念得到其下的數相等，加上“n在自然數序列中緊跟m”這個表達式，就能定義0和1，并且進一步確定數序列是無窮的。
基于客觀性原則，弗雷格反對心理主義的相對主義和主觀主義，他把算術奠基于一種不變的邏輯基礎之上。遵循語境原則和函項原則，他在《算術基礎》中主要展示了一種追溯算術基礎的方法。根據這種嚴格證明的方法，弗雷格認為從一些自明的公理（即他所謂的普遍的邏輯基礎、普遍句子）出發(fā)，加上數的定義，可以演繹出所有關于數的真命題。雖然這有循環(huán)論證嫌疑，但是弗雷格明確地認為按照他的嚴格證明的方法，可以追溯作為算術基礎的數的定義以及自明的公理。他在《算術基礎》中談及其基礎主義的哲學動機，在于澄清算術真是屬于先驗還是后驗、是屬于分析還是綜合。如前所述，從判斷的根據而非內容解釋真，由算術真所根據的是不可證明的普遍句子來看，算術真（truth）當然是先驗分析的。換言之，從算術真的基礎可以得出算術真是先驗分析的。這種哲學動機促使弗雷格進行基礎的追溯，而分析性也因此成了算術命題的特性，并且將其與綜合性的心理命題區(qū)分開來。
二、蒯因的《真之追求》及弗雷格應對的可能性
弗雷格以澄清算術真的分析性為其哲學動機，蒯因則由對分析性概念的批判而提出一種整體論的徹底經驗主義，他的經驗主義就是所謂的自然主義的心理主義?；趯Ψ治雒}的態(tài)度，這種經驗主義并不承認數學中存在如弗雷格所追求的那種分析性的基礎。
蒯因在他著名的《經驗論的兩個教條》中所批判的第一個非經驗論教條，就是分析與綜合之分：奠基于非事實的意義的真（truth）是分析的，而奠基于事實的真是綜合的。而且，對分析與綜合之分根源同一的還原論的清理之后，他的結論是：由真一般地依賴于語言和語言之外的事實得出，每個陳述的真可分解為語言部分和事實部分，這是很多胡說的源頭。根據這種劃分，如果某陳述的真只與語言部分有關，那么該陳述就是分析的。這種分析和綜合之分，在蒯因看來是頑固地抗拒任何明確的劃分?？茖W看起來總體上依賴于語言與事實，但逐個地審視科學陳述，卻能發(fā)現并非如此。 沒有教條的經驗論應該主張：“我們所謂的知識或者信念的總體，從最具因果性的地理和歷史的事實到相當復雜的原子物理或者甚至純數學和邏輯，是一個人造的構架，其僅僅是沿著邊緣侵入經驗?！盜bid.， p.39.
把架構在經驗基礎之上的人類知識體系比喻成一個倒扣的碗的話，純數學和邏輯即便處于碗頂，也最終要與經驗相關。這種思想在蒯因后期的《真之追求》得到了進一步的闡述，與弗雷格固守理性、固守不變的基礎不同的是，蒯因固守的是他心中的經驗論規(guī)范：“nihil in menter quod non prius in sensus（心靈中沒有任何東西是以前感覺中沒有的）”。他的出發(fā)點是：感覺的刺激-感受才是我們關于外在世界的知識客觀性的保證：
有關我們外在世界的知識的客觀性保持在我們與外在世界的接觸中、從而在我們的神經攝取和與之相應的觀察句中得以確立。我們從整個句子而非從詞項出發(fā)。函項的一個教益是，我們的本體論，像語法一樣，是我們自己對關于世界的理論做出的概念的貢獻的一部分。人類提出建議，世界付諸實施，但這僅僅是經由對具體表達人的預見的觀察句做出整句的“是”或“否”的判斷來達到的。
在蒯因看來，我們經由感官刺激（stimulation），在歷代累積的創(chuàng)造性之下構造關于外部世界的系統(tǒng)理論。在刺激和感受的關系或者刺激和我們的外在世界的科學理論的關系的分析中，神經科學、心理學、心理語言學、遺傳學或者歷史學都可以提供資源，而其中有一個部分可以僅借助邏輯分析來加以考察，那就是理論被預言檢驗的部分，或者屬于證據支持關系的部分。這就進入到了“求真”的領域，并且看來他也將采取邏輯分析和語言分析的方式，從目標和方法上看似乎與弗雷格對算術基礎的追求是一致的。
但事實并非如此，究其一生，蒯因直到最后的著作《從刺激到科學》都立足于前面提到的那個經驗論規(guī)范。雖然蒯因有時候認為有些數學命題是沒有經驗內容的，但是不同于弗雷格所認為的對每個對象都必然有意義的命題都是重認命題（recognition?judgment），比如數學中的等式，他認為有意義的命題恰好是有經驗內容的命題，也就是能被檢驗、值得檢驗的命題。
蒯因更直接要解決的是所謂“科學游戲的目的”的問題。他認為，科學游戲的壓倒性目的是技術和理解。從技術和理解的角度來看，“所指和本體論如此后退到單純的輔助者的地位。真句子，觀察的和理論的，是科學事業(yè)的始終。它們由結構聯系起來，而對象扮演了結構的純節(jié)點的角色”。這種結構就是邏輯的聯系，在函項的理論下，px原來意味x是p的地方，可以重新詮釋為x是p的f；即在重新解釋后的句子逐詞保持不變的情況下，觀察句依然和以前一樣與相同的感覺刺激結合在一起，而且邏輯聯系完好無損，理論的對象卻被隨意大幅度地移換了。
這說明對象“對于觀察句的真是無關緊要的，對于觀察句對理論句提供的支持是無關緊要的，對于這個理論預言中的成功也是無關緊要的”。只要能保證與感覺刺激結合，那么作為“人造架構”的觀察句、理論句的對象就可以隨意移換。語詞、句子不過是人類使用的符號，人類可以“任意”地解釋，當然，前提是與感覺刺激結合：“人類提出建議，世界付諸實施?！睂ο笤谪嵋蜻@里并不重要，對真句子來說更重要的是與感覺刺激相合。但這種相合并非是孤立的，而是整體的。在他看來，直接面臨經驗檢驗的是所謂的觀察范疇，而蘊含觀察范疇的是一個理論的整體，其中，算術和其他數學的分支是理論背景的一部分。在《真之追求》第6節(jié)中，蒯因試圖通過在整體論所要求的最低限度肢解整體的準則之下，保護任何純數學的真，但這種保護不是因為數學的基礎性，而是因為數學滲透到人類關于世界的知識系統(tǒng)的各個分支，對數學的破壞將令人無法容忍。蒯因認為，這可以解釋數學必然性，并且基于一個所謂的未闡明的原理：人類在自由地拒斥其它信念的同時卻要捍衛(wèi)數學。由于整體論，加上數學對我們關于世界的知識系統(tǒng)的滲透，在數學得到應用之處，經驗內容也被數學所分享。
蒯因的老師卡爾納普在他的數學哲學中，使用分析性來解釋缺乏經驗內容的數學如何有意義以及為何數學是必然真。之所以使用分析性，在蒯因看來，是因為類似于形而上學的必然性反映出事物的本質，分析性反映了語詞的意義。不過，如前所述，蒯因認為通過整體論就可以解決卡爾納普通過分析性所解決的那兩個問題。蒯因對于數學必然性的說明，并不是給出像弗雷格那樣的基礎主義證明，而更主要是從數學應用的效果來說明；與其說他想說明數學的基礎性的必然性，倒不如說他想通過整體論來說明數學如何跟經驗關聯。
在《真之追求》第40節(jié)，蒯因專門討論“數學中的真”。在他看來，數學有一部分因為不應用于自然科學而不享有經驗意義，集合論的高級部分也是這樣，而它們的意義在于它們是與應用數學一樣用相同的語法和詞匯來進行表述的?；蛟S因為這種數學的高級部分的非應用性，蒯因認為要是將之排除在二值邏輯之外，就需要不自然地劃分語法。因而，由于簡單、經濟和自然的考慮，這些高級部分或者是不必要的想象，或者可以在謂詞邏輯和集合論這類基礎上給出來；并且這樣處理缺乏經驗內容的純數學，跟自然科學內部進步的簡化和經濟達到一致，“它是關乎使我們關于世界的整體系統(tǒng)緊湊（tightening）和簡化（streamlining）的問題”。
從以上對蒯因在《真之追求》中的觀點的述評可見，蒯因自然主義的心理主義把人看作自然的一部分，而人們使用的數學（包括邏輯、集合論作為其組成部分）只是人們的工具。蒯因不像弗雷格那樣試圖分析出一種外在的數學的基礎，他只是從數學的應用來說明數學的必然性；這種必然性最終與經驗相關的應用關聯起來：數學作為理論背景的一部分，蘊含觀察范疇，并且當觀察范疇遇到反例時，唯有數學不能被破壞。在《從刺激到科學》中蒯因用一章的篇幅專門討論了邏輯和數學，其中的觀點與《真之追求》是一脈相承的，并且可以增進對他關于邏輯和數學的心理主義觀點的理解。
作為自然一部分的人對于邏輯的習得有一種“進化”的過程：人類從孩提時代習得“并非”、“并且”、“或者”這些邏輯聯結詞以及“有的”、“每個”這些量詞的時候，就逐步把蒯因界定的狹義的邏輯的基本律內化了；而當人類數學理論成熟時，就能夠在一種形式化中把這種邏輯壓縮為：證明一個給定的前提集對預期結論的蘊含，就是證明該前提集與結論的否定的不一致。這種觀點把數學當成比邏輯更加高級的知識體系，蒯因接下來的一句話可以更清楚地看出這一點：“我樂意于如此狹義地限制詞項‘邏輯’，而把集合論處理為數學另一更高級的分支。”他在后面甚至把集合論當成數學的代名詞，即邏輯是數學的分支、集合論則是更高級的分支。并且，這種“狹義”的邏輯和集合論及數學的其它分支，有著三個重要的區(qū)別：一、邏輯沒有能稱為屬于它自己的對象，其變量允許所有離散的值；二、除去同一性，邏輯沒有自己的謂語；三、邏輯允許有完全的證明程序，而數學其它分支則由于哥德爾不完全性定理而不允許有完全的證明程序。
從以上對比可見，就沒有對象與謂語而言，邏輯如前面所引述的《真之追求》的觀點所表明的那樣，更主要的是具有一種聯系的功能；就證明的完全性來說，邏輯看來比之數學的其它分支更有優(yōu)勢。如前所述，在蘊含觀察范疇方面，蒯因把數學律與自然律的作用等同起來，因為集合論和數學其余部分的規(guī)律排列在進行蘊含的前提之中，等同于自然科學的規(guī)律和假說。不過，這并不與公認的數學缺乏經驗內容的看法相沖突，蒯因認為數學的這種參與并不賦予經驗內容，因為經驗內容是屬于進行蘊含的集合并且不被其成員所分享的。
在《真之追求》里能夠享有經驗內容的是應用中的數學，而這里作為進行蘊含的集合一部分的數學，是所謂的非詮釋數學（uninterpreted mathematics），它們不僅缺乏經驗內容，且缺乏真假。蒯因在比擬這一類數學真理為經驗真理時，主要出于其對觀察范疇的蘊含有幫助的考量，而將其對經驗的背離忽略不計。蒯因認為許多這樣的語句可以用應用數學中所堅持的規(guī)律來處理，另外一些解證地獨立于先前理論的情形則還是用經濟原則來處理。加上哥德爾的不完全性定理，令蒯因為難的還有：有許多屬于數學的閉合句在一致的證明程序中，不可證明也不可證偽。最后，蒯因只能與這種超出他認為的值得并且能夠檢驗的才是真陳述的要求的句子做出妥協。但是，他還是強調，即使這涉及到康德的物自體問題，關鍵卻還在于人類的用法，而并非宇宙之秘。
與密爾等心理主義的前輩相比，蒯因并不否認數學尤其是純數學對于經驗的背離；而對于邏輯，他則更主要從一種工具的角度來對待。在寫作《經驗論的兩個教條》時，蒯因認為人類的知識最終都與經驗相關；而到了《從刺激到科學》，他卻承認非詮釋的數學對于經驗的背離。即使借用應用數學的規(guī)律處理部分這樣的數學陳述的真假問題，同時用奧康的剃刀處理另外一些數學命題，還是存在著真假不定的數學命題，蒯因提到非詮釋數學即抽象代數時說它們沒有經驗內容、也沒有真假。而這與前面提到的他所貫徹的經驗論的規(guī)范是沖突的。
蒯因的這種困境在弗雷格看來或許并不成為困境。弗雷格其實并不否認經驗的作用，他承認感覺印象是認知數和其他一些東西的條件，但他強調在數學基礎方面中經驗是無關的。在《概念文字》的序言中，他把科學真理分成兩類：一類是其證明純粹由邏輯完成，另一類是必須被經驗支撐的。不過，即使是第一類，也是與這樣的事實相一致的：“沒有任何感覺活動的話它是絕不會在人心中稱為意識”；只是它并非源起于心理學，而是基于分類之上的最好的證明方法。感覺活動是意識形成的必要條件，包括其證明純粹由邏輯完成的科學真理也是如此，不過感覺活動卻并非基礎。泰勒·伯奇（Tyler Burge）考究了奠基（grounding）一詞的德語，認為基礎和奠基是與理性相關的。哲學家所談論的理性，一般意指源自亞里士多德的范疇理性，即弗雷格在《算術基礎》第31節(jié)提到的，使我們與動物區(qū)別開來的更高精神力量。 作為算術基礎的命題恰好是不需要檢驗的、自明的，其作為真命題的意義因此不在于蒯因所要求的值得檢驗和能被檢驗，而在于它們所含有的內容是理性所必須確認的。
與《算術基礎》開篇建立的那三個原則相適應，弗雷格把科學真理分成兩類，其中，客觀性的算術真理純粹由邏輯得到證明。算術領域的真在弗雷格那里如同赤道與北海的存在一樣，具有超乎經驗的客觀性。算術真理在弗雷格那里具備的獨立于經驗的地位，恰好就標出了蒯因極不情愿地作出妥協后逐步接近的那種立場。另一方面，即使蒯因的經驗論看起來似乎更符合人類的實際（人們通過微弱的紐帶與包括數學對象這一類抽象對象的外在世界相連，更多的時候，人們談論知識就是在談論人們經驗中的知識，在此意義上，人類提出建議，世界付諸實踐），但是他卻無法將經驗主義的規(guī)范貫徹到非詮釋數學的領域。
最后回到本文開頭轉述的蒯因對于弗雷格理想的否定。自明的邏輯真理作為算術基礎的探尋在蒯因看來之所以是失敗的，與蒯因對分析性概念的態(tài)度密切相關。如前所述，弗雷格基礎主義探究的哲學動機是進一步澄清分析與綜合之分，把通過證明由非事實的普遍邏輯真理或定義得到辯護的數學真視為分析性的，并且在《算術基礎》結尾部分還認為他在這一點上推進了康德的研究。 蒯因在《經驗論的兩個教條》中雖然直接針對的是卡爾納普的分析與綜合之分，但就以奠基于非事實與事實來區(qū)分分析與綜合而言，他的這種批判也可以針對弗雷格的分析與綜合之分。蒯因否定奠基于非事實的分析的真的存在，最終目的是得出他的整體論的經驗主義?？死锼雇懈ァてた耍–hristopher Peacocke）指出，蒯因拒斥分析性與他的整體論、可錯論相關聯，而他的整體論是刺激意義（stimuli?meaning）的整體論。如前所引的《真之追求》中的觀點所顯示的，在蒯因那里，可以說感官刺激才是所有知識的基礎。皮卡克指出，刺激意義并不必然具有一般的意義同一性。比如，對一個嚴重散光的人來說，“那條線是直的”的刺激意義將與他視力更好的朋友不同，但是這個句子在兩種情況下都有同樣的意義。
【關鍵詞】數學；基礎教育；教學；改革；反思
【基金項目】本文系欽州學院科研項目“師范專業(yè)學生數學學習習慣與方法研究”（編號：2011XJKY-38C）的階段性成果。
中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）09-0008-02
數學教育作為我國基礎教育中的一門基礎性學科內容，在我國數學基礎教育改革的發(fā)展進程中，不斷汲取和吸納國內外的成功教育經驗，對數學基礎教育的教學理論進行研究，還對教學方法進行了創(chuàng)新和變革。同時，在不斷創(chuàng)新和改革的時代變化中，將數學基礎教育與網絡新媒體相結合，在大數據下實現對數學基礎教育的創(chuàng)新，在一定程度上推動了數學基礎教育的改革與發(fā)展。
一、數學基礎教育改革的現狀分析
我國的數學基礎教育改革在歷經很長時間的磨礪之后，獲得了較為豐富、寶貴的教學理論知識和教學實踐經驗，并培育出較多的數學競賽的佼佼者。他們在數學基礎知識的學習過程中，不僅基本功扎實，具有較為突出的優(yōu)點，而且還受到了國內外學者的矚目。然而，盡管我國的數學基礎教育改革發(fā)生了翻天覆地的變化，卻仍舊存在數學實際應用能力相對薄弱的現象，相對于國外數學基礎教育改革成功的國家而言，還具有一定的差距。主要表現為以下幾個方面：
1. 數學課程教育呈現出枯燥單調、深奧抽象的現象
受應試教育“指揮棒”的影響，學生大多處于數學基礎知識學習中的被動狀態(tài)。固態(tài)的數學教學思維和模式，在一定程度上壓抑了學生的學習熱情，加之數學知識自身的抽象性和枯燥的內容，導致學生難以擺脫機械性教育的困境和束縛。以考試成績作為衡量學生學習效果的大環(huán)境，使得數學基礎教育難以擺脫傳統(tǒng)教學模式，因而在具體的教學中，難以增進學生的科學精神，對于數學思想和方法的理解也無法得到升華。
2. 過于追求數學教學的學習數量
在數學基礎教育中，依據舊知導入新知的教學方式可以較好地引導學生學習數學基礎知識。然而，為了不斷地接受新的數學知識，學生總是依靠強記硬背的方法來達到對數學相關知識的掌握與學習，對新的數學知識進行記憶，數學知識并沒有真正滲入到學生的腦海中，出現快速遺忘的現象和問題。這就使數學基礎教育成了應付考試的途徑，并沒有使學生真正意識到數學基礎教育的應用價值和功能。
3. 教師壓力大
教師往往要花費極大的心血和精力，使學生理解相對抽象和枯燥的數學知識內容，這對于數學教師而言，無疑是一個巨大的挑戰(zhàn)。教師為了提高學生的考試成績，常常采用傳統(tǒng)的“題?！睉?zhàn)術，讓學生沉浸于數學的習題解答過程之中，通過大量的數學習題訓練，讓學生解答各種難題和偏題，而對學生數學思想和方法的培養(yǎng)卻較少關注，難以真正實現數學基礎教育的價值。
二、數學基礎教育的改革發(fā)展與反思
我國的數學基礎教育與國外相比還存在著較大的差距，大多數學生可以較為熟練地掌握相應的數學基本技能，對于數學基礎知識的實際應用卻顯得較為滯后，因而難以真正體現數學知識的應用價值。為此，我們要進一步推動我國的數學基礎教育改革，在此過程中，不斷反思并獲得更為深刻的啟迪。
1. 全面落實數學基礎教育的課程標準
要全面落實數學課程標準，必須在轉變數學基礎教育的理念前提下，以學生為數學學習的主體，培養(yǎng)學生良好的數學思維能力和正確的行為習慣。因此，教師要全面、深入地了解學生思維活動中的既有知識和經驗，鼓勵學生積極參與實踐探索，培養(yǎng)其直觀、理性的思維能力。
2. 注重數學基礎教育教學內容和教學體系的深化變革
在數學基礎教育的課程教學中，需要對數學基礎教育教材進行創(chuàng)新性變革，在轉變應試教育的傳統(tǒng)觀念之下，克服單純以數學理論教學為主體的教學狀態(tài)，適當增添數學應用型實例的教學內容，把數學基礎教學與生活現實相契合，使學生充分理解數學思想和精神。同時，還可以引入“一課研究”的研究和教育架構，這是一種創(chuàng)造性數學基礎教育架構和模式，主要涵括以下幾個方面的維度和內容：
（1）數學的知識維度。包括小學、初中、高中、大學階段中的數學相關知識。
（2）課程標準維度。
（3）教材比較維度。即教師對一節(jié)課的教材內容進行縱、橫向比較性的研究和教育。
（4）理論指導的維度。這主要是指教師在數學基礎教育的教學中，可以努力探索數學基礎教育的理論，并將其應用于數學課堂的具體教學實踐當中，充分體現出數學基礎理論的價值和意義。
（5）學生起點維度。在數學基礎教育之中，教師要圍繞一節(jié)課的教學，充分了解學生的起點，并以此為依據完成教學設計。
（6）教學設計維度。教師可以對一節(jié)課的教學設計加以明確，再根據不同的學情，設計出具有針對性、個性化的教學過程。
（7）課堂教學的維度。即教師要對課堂教學情況全面觀察和分析、評價，從而更好地體現出數學基礎教育教學的實效性。
（8）課后評價的維度。指教師在數學基礎教育中的情感態(tài)度和“四基”等方面，實現對學生的測試和評價。
（9）校本教研維度。指的是教師要緊緊圍繞一節(jié)課的熱藎進行全面、系統(tǒng)地設計，完成校本教研活動方案。
3. 完善數學基礎教育的專業(yè)課程設計
在數學基礎教育之中，要完善對學生的專業(yè)課程設計內容，具體包括有：
（1）必修基礎課程。這主要包括代數、幾何、數學分析三大部分。
（2）必修應用類課程。這主要是指數學基礎教育中的概率論教學、數理統(tǒng)計教學、數學建模、模糊數學應用等內容，但它們之間各有其側重點。
（3）數學教育類課程。這主要包括數學問題研究、數學教學論、數學文化等內容，要在這個內容中培養(yǎng)學生的綜合能力，培養(yǎng)學生的自主學習能力，從而更好地提升學生的數學思想、方法和技術。
綜上所述，在數學基礎教育的過程中，要堅持以學生為主體，轉變原有的教學觀念和意識，努力夯實學生的數學基礎知識，不斷培養(yǎng)學生潛在的數學能力，激發(fā)學生主動探究的熱情，并在數學問題的發(fā)現、分析、反思和解決的過程中，更好地提升學生的數學思維創(chuàng)新能力。除此之外，教師還要根據學生的具體學情和知識，以及既有實踐經驗，完善和優(yōu)化數學基礎教育內容和體系，穩(wěn)步持續(xù)地推進我國的數學基礎教育改革。
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