時間：2022-08-27 14:27:11
序論：在您撰寫五年級小學數(shù)學論文時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導您走向新的創(chuàng)作高度。
五年級關于數(shù)學小論文【一】我對兩位數(shù)乘兩位數(shù)有一定的看法。其中，并非都需要列豎式計算，兩位數(shù)乘兩位數(shù)有許多種，我先說出其中的五種。第一種，個位相加等于10，十位數(shù)字相同。第二種，十位數(shù)相加等于10，個位數(shù)字相同。第三種，十位、個位相加既不不等于10既，也不相同，沒有任何規(guī)律。第四種，個位相加等于10，但是十位數(shù)字不相同。第五種，十位相加等于10，但是個位數(shù)字不相同。第六種當然，我并非知道所有種類，但是也略知皮毛，至少是可以寫出前三中的簡便方法來的。
我列幾題來看：第一題，8684=多少。86和84個位相加等于10，十位數(shù)字相同，是第一種情況?？梢赃@樣計算：8+1=9，89=72，末尾46=24，89的結果是積的百位和千位，46的結果是積的十位和個位。這題的積是7224。第二題，3452，屬于第三種，可以將它乘法變加法，三步完成，第一步，24=8，個位相乘，積的末尾為8。第二步用45+32=26，交叉相乘加起來，寫6進2。第三步，十位相乘35=15，15加進的2，等于17，這題的積是1768。第三題，6848，屬于第二種，十位數(shù)相加等于10，個位數(shù)字相同。用64=24，24+8=32，積的千位和百位是3和2。最后末尾相乘，88=64，十位和個位是6和4，這題的積是3264。
當然還有一種指算法。我就不多說了，我就不一一介紹了。看了我的方法，你們覺得是我的好，還是數(shù)學報上老土的方法好。
五年級關于數(shù)學小論文【二】今天，媽媽要去買燈泡。到了超市，發(fā)現(xiàn)超市里有兩種燈泡：一種是節(jié)能燈泡，一種是普通燈泡。節(jié)能燈泡雖然開200小時只需要用一度電，比普通燈泡一度電多用170個小時，但是它一個要5元，;普通燈泡一個只要1元，比節(jié)能燈泡便宜4元，但是它30個小時就要用一度電。
媽媽問我：考考你，如果我要買一個燈泡回家，買哪種的燈泡最劃算?
我思索了一會兒，不慌不忙地說：可以這樣算：
51=5305=150(小時)200小時150小時
還可以這樣算：
51=52005=40(小時)30小時40小時
由這幾步可得出結論，節(jié)能燈泡省錢。
媽媽又問我：很好。再想想看，還有沒有別的辦法來算?
我又想了一會兒，一個字一個字地說：可以用我這學期才學的百分數(shù)來算：
5/200100=0.025100=2.5
1/301000.033100=3.3
3.32.5
或者這樣算：
200/5100=40100=4000
30/1100=30100=3000
40003000
因此，也是節(jié)能燈泡便宜。。
我和媽媽買了比較劃算的節(jié)能燈泡回去了。
經過這件事，我明白了：生活處處有數(shù)學這個道理。
五年級關于數(shù)學小論文【三】生活處處有數(shù)學，今天我來到超市，驗證了這一真理。通過比較，我還發(fā)現(xiàn)有的東西套裝賣比單個買更貴一點。
我來到有火腿腸的架子上，貨架上擺著一包一包的火腿腸，同樣品牌，同樣重量，里面有10根，每包4.30元。到底買一包一包的呢，還是買一根一根的?我猶豫了。突然，我的腦子一轉，有了，只要比較一下，哪一種合算就買哪一種。于是我開始算起來：零賣的如果買10根，每根4角，共是4元，而整包的要4.30元，多了3毛錢，所以套裝比散裝更貴。
近幾年來,數(shù)學問題提出日益受到學者們的重視,它被視為數(shù)學課程的重要組成部分,甚至是數(shù)學教學活動的中心[1~3].例如,我國2011年數(shù)學課程標準在問題解決的課程目標中強調學生要“初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題”[4].數(shù)學問題提出的重要性在2000年美國數(shù)學課程與評價標準中也有所提及[5].
鑒于數(shù)學問題提出在數(shù)學課程與教學中的重要作用,學者們開展了一系列關于數(shù)學問題提出的相關研究.例如,數(shù)學問題提出能力水平的調查研究表明,中國中小學生的數(shù)學問題提出能力還有待于提高[6~7].數(shù)學問題提出能力和數(shù)學問題解決能力關系的調查研究,揭示了學生的數(shù)學問題提出能力和數(shù)學問題解決能力之間存在較高的相關性[8~10].數(shù)學問題提出能力評價的研究認為學生的數(shù)學問題提出能力可以從提出數(shù)學問題的流暢性、變通性和創(chuàng)新性3個方面進行評價[11~21].但是,學生數(shù)學問題提出能力的評價,從數(shù)學問題的流暢性、變通性和創(chuàng)新性3個方面是不全面的,既然數(shù)學問題的復雜程度也代表了一個學生數(shù)學問題提出能力的高低,因此學生提出的數(shù)學問題的復雜性也應是其數(shù)學問題提出能力高低的一個評價方面.同時,對于數(shù)學問題提出能力和數(shù)學問題提出觀念之間關系的研究還存在一定的空白.學者Philippou和Nicolaou對于數(shù)學問題提出能力和觀念之間關系的研究提供了一些啟示[22].他們調查了塞浦路斯五年級和六年級小學生數(shù)學問題提出能力和自我效能觀念之間的關系.結果表明塞浦路斯小學生數(shù)學問題提出能力和自我效能觀念之間存在一定的相關性.但是該研究僅僅調查了學生的自我效能觀念與數(shù)學問題提出能力之間的關系,沒有涉及學生其他的問題提出觀念.例如,學生對數(shù)學問題提出的重要性的認識,對數(shù)學問題提出的興趣,以及對數(shù)學問題提出的教學形式的認識.同時,數(shù)學問題提出能力是否能夠被有效測量,將直接影響研究者深入探索數(shù)學問題提出能力和觀念之間的關系.因此,該研究將首先界定數(shù)學問題提出和數(shù)學問題提出觀念的概念,并構建了一套數(shù)學問題提出的評價體系.在此基礎上,該研究調查了沈陽市小學生數(shù)學問題提出能力和觀念的情況,以及二者之間的關系.
二、相關概念的界定
數(shù)學問題提出是指,新數(shù)學問題的提出和已有數(shù)學問題的重新闡釋,它可以發(fā)生于數(shù)學問題解決之前、之中和之后[2].學生在數(shù)學問題提出的過程中經歷信息的理解,信息的轉換,信息的編輯,信息的選擇4種心理過程[23].信息的理解發(fā)生在學生根據一些數(shù)學表達式提出數(shù)學問題的過程之中;信息的轉換發(fā)生在學生根據一些數(shù)學圖片和表格提出數(shù)學問題的過程中;信息的編輯發(fā)生在沒有限制條件下,學生根據一些數(shù)學信息、數(shù)學故事提出數(shù)學問題的過程中;信息的選擇發(fā)生在學生根據某一個答案提出數(shù)學問題的過程中.觀念是個體所持有的主觀認識和理論,它包含所有個體認為是正確的,但是卻不能提供令人信服的證據的認識[24].在觀念概念的基礎上,研究者認為數(shù)學問題提出的觀念是指學生對于數(shù)學問題提出的重要性、興趣,以及數(shù)學問題提出學習過程中的信心等的主觀認識與態(tài)度.
三、研究方法
1.樣本
調查了沈陽新民市69個五年級小學生和朝陽北票市48個五年級小學生的數(shù)學問題提出能力和數(shù)學問題提出觀念的情況.根據數(shù)學課程標準的要求,學生測試前已經學習了因數(shù)與倍數(shù)、平行四邊形、三角形面積、梯形的面積、分數(shù)的基本性質,以及分數(shù)的加減法等相關知識.另外,由于參與調查的學生所使用的數(shù)學教材存在少數(shù)的數(shù)學問題提出的情境,所以學生對數(shù)學問題提出有一定的了解.
2.測試過程
為了避免部分學生對數(shù)學問題提出仍然不清楚,測試前,研究者先講解一個數(shù)學問題提出的例題:“服裝店中,一件上衣的價格是60元,一雙鞋的價格是82元,根據已知條件提出數(shù)學問題.”如果學生提出數(shù)學問題的時候存在困難,調查者可以給出一個例子:一件上衣和一雙鞋一共多少元?之后引導學生根據該情境提出其他的數(shù)學問題.例題講解之后,研究者強調這次測試不是一次真正的考試,其目的是了解他們的數(shù)學問題提出能力水平,因此考試的時候不要緊張.在測試的過程中,如果學生對題意等不是很理解,教師可以給予必要的提示.數(shù)學問題提出測試結束后實施數(shù)學問題提出觀念的測試,兩個測試一共用時約50分鐘.
3.測試工具
數(shù)學問題提出能力測試包括6個算術領域的問題提出測試題(測試題2對學生提出數(shù)學問題的解決策略的運算類型加以限制的目的是考察學生在數(shù)學問題提出過程中對信息理解的能力).從問題提出情境的表征方式來看,有圖片、答案、算式、語言描述和表格等.例如,編寫兩個應用題,使其計算方法(列式)都為1.6×8.數(shù)學問題提出觀念問卷包括20個五點李克特觀念問題,涉及學生對于數(shù)學問題提出的重要性,數(shù)學問題提出學習過程中的信心,以及對于數(shù)學問題提出的興趣等.這20個觀念問題從設計方式上分為10個正向問題和10個反向問題.例如,“盡管我很努力地學習,但是我在提出數(shù)學問題的時候還是總遇到困難”為反向問題;“我認為能夠從提出數(shù)學問題的過程中學到很多”為正向問題.
4.評價標準
數(shù)學問題提出測試從流暢性、變通性、新穎性和復雜性4個維度評價.流暢性指提出正確數(shù)學問題的個數(shù)【評價一個數(shù)學問題是否為正確的數(shù)學問題,首先,評價所提出的數(shù)學問題是否滿足題意的要求.其次,評價所提出的數(shù)學問題是否為一個可解的數(shù)學問題(一個數(shù)學問題不可解是指這個數(shù)學問題的數(shù)學信息不充分或者和已知條件相矛盾).最后,評價所提出的數(shù)學問題是否符合生活實際】.對于某一個測試題,學生提出一個正確的數(shù)學問題,則得1分,否則得0分.變通性指學生根據某一個問題提出情境提出的兩個數(shù)學問題的類型的變化程度,如果兩個數(shù)學問題都錯誤,或者其中一個錯誤,或者兩個數(shù)學問題都正確且屬于同一個類型,都得0分,如果兩個數(shù)學問題都正確且不屬于同一個類型,則得1分.數(shù)學問題的類型根據該數(shù)學問題的總的語義類型來確定.加減法的語義類型分為變化、合并和比較3種類型,乘除法的語義類型分為等量組的聚集、倍數(shù)、矩形和組合[25].例如,“小明帶了100元,買了2條圍巾和1雙手套,剩多少元?”和“買2副手套和1條圍巾共多少元?”,前一個數(shù)學問題的語義類型為變化,后一個數(shù)學問題的語義類型為合并,所以該生測試題1的變通性維度得1分.新穎性是指學生所提出的數(shù)學問題比較有新意,具體的評價方法是如果提出的某一類正確的數(shù)學問題的個數(shù)占所有提出的正確數(shù)學問題的個數(shù)的百分比小于10%,那么這類數(shù)學問題就被評價為新穎性的數(shù)學問題.該維度中,數(shù)學問題類型的劃分方法與變通性維度中數(shù)學問題類型的劃分方法相同.學生提出一個新穎性的數(shù)學問題,則得1分,非新穎性的數(shù)學問題或者不正確的數(shù)學問題為0分.復雜性是指學生提出的正確的數(shù)學問題所包含的語義類型的個數(shù).某一個測試題中,學生提出的兩個數(shù)學問題中至少有一個數(shù)學問題包含兩種語義類型,則得1分,至少有一個包含3種及以上語義類型的數(shù)學問題,則得2分,其余為0分(兩個問題中至少一個問題錯誤或者兩個數(shù)學問題都正確,但是每個問題僅僅包含一個語義結構).例如,一個學生提出兩個數(shù)學問題“一共有多少個動物?”和“草地上有5只母雞和8頭牛,草地上一共有多少條腿?”,第二個數(shù)學問題包括合并和等量組的聚集兩種語義結構,該生復雜性維度得1分.數(shù)學問題提出能力測試4個維度的分數(shù)重復累計,流暢性和創(chuàng)新性維度的總分各是12分,變通性維度總分是6分,復雜性維度總分是10分(測試題2要求學生根據指定的算式編寫數(shù)學問題,因此,評價學生根據該問題情境提出的數(shù)學問題的復雜性是沒有意義的),所以數(shù)學問題提出能力測試的最低分為0分,最高分為40分.
數(shù)學問題提出觀念問卷中,反向問題反向記分.例如,對于問題“盡管我很努力地學習,但是我在提出數(shù)學問題的時候還是總遇到困難”,選項“非常不同意”記5分,選項“不同意”記4分,選項“不知道”記3分,選項“同意”記2分,選項“非常同意”記1分.正向問題正向計分,例如,對于問題“我能夠正確地評價提出的某一個數(shù)學問題是否正確”,選項“非常不同意”記1分,選項“不同意”記2分,選項“不知道”記3分,選項“同意”記4分,選項“非常同意”記5分.數(shù)學問題提出觀念問卷的最低分為20分,最高分為100分.
四、研究結果
1.數(shù)學問題提出能力的結果
從測試總體情況來看,大部分學生能夠提出正確的數(shù)學問題,數(shù)學問題提出能力測試的4個維度得分率情況分別為,流暢性:87.5%,變通性:45.7%,創(chuàng)新性:12.3%,復雜性:20.3%.可見,在問題提出的流暢性維度上,學生的數(shù)學問題提出的分數(shù)還是較高的.但是,也不乏一些學生提出不符合要求的數(shù)學問題,例如,在測試題2中,根據問題的要求,學生需要提出應用題,而有的學生卻提出文字表述題,如:“8個1.6的和是多少?”在測試題4中,根據問題的要求,學生需要提出用乘法或除法解決(可以包含加法或減法)的應用題,而有的學生卻提出:“小明存250元,小麗存300元,小明比小麗少多少?”在測試題5中,學生需要根據情境中隱含的規(guī)律提出問題,但有的學生卻提出:“第四天,他用23根火柴搭了幾個正方形?”顯然這個數(shù)學問題不符合題中隱含的規(guī)律;在測試題6中,有的學生提出數(shù)學問題:“一只母雞一天下10個蛋,那么5只母雞一個月30天下多少個蛋?”可見提出的數(shù)學問題不符合生活實際.與數(shù)學問題提出的流暢性維度相比,學生在數(shù)學問題提出能力的創(chuàng)新性和復雜性維度上的表現(xiàn)不容樂觀.學生傾向于提出和課本類似的、練習中常見的、簡單的數(shù)學問題.例如,對于測試題1,類似于“買2雙鞋和1副手套共需多少錢?”的合并問題為36%;類似于“2副手套花多少錢?”的等量組聚集問題為26%.
2.數(shù)學問題提出觀念的結果
從數(shù)學問題提出觀念問卷來看,部分學生對數(shù)學問題提出的觀念不容樂觀.例如,對于觀念問題4“盡管我很努力地學習,但是我在提出數(shù)學問題的時候還是總遇到困難”中,有38%的學生選擇同意或者非常同意,表明很大一部分學生對學好數(shù)學問題提出缺乏一定的信心.對于問題19“我愿意提出和課本上類似的數(shù)學問題”,高達62%的學生選擇了同意或非常同意,這可能是學生數(shù)學問題提出的創(chuàng)新性較差的一個原因.但是,學生很喜歡數(shù)學問題提出的活動.例如,對于觀念問題15“如果數(shù)學課堂能夠給學生提供更多的數(shù)學問題提出活動,那么數(shù)學課堂就會變得更加有趣”,90%的學生選擇了同意或者非常同意.
3.數(shù)學問題提出能力和觀念之間的關系
皮爾遜相關分析表明,首先,學生的數(shù)學問題提出能力和觀念在0.05的顯著性水平上正相關(=0.21,P=0.02);學生的數(shù)學問題提出能力的創(chuàng)新性與數(shù)學問題提出觀念在0.05的顯著性水平上正相關(=0.27,P=0.00).其次,對于數(shù)學問題提出的4個評價維度,創(chuàng)新性分別和變通性(=0.29,P=0.00)和復雜性(=0.40,P=0.00)在0.05的顯著性水平上正相關(研究中只計算了數(shù)學問題提出的變通性,復雜性和創(chuàng)新性之間的相關性,而沒有把正確性包含在內,因為變通性、復雜性和創(chuàng)新性3個維度是以正確性為基礎的,即,只有正確的數(shù)學問題才能評價其變通性、復雜性和創(chuàng)新性).最后,學生的數(shù)學問題提出觀念能夠從很大程度上預測他們的數(shù)學問題提出能力(R=0.21,F=5.47,p=0.02).
五、討論
通過該研究,可以得出,學生傾向于提出一些常規(guī)性的、熟悉的數(shù)學問題,而不擅長提出創(chuàng)新性、復雜性的數(shù)學問題.因此,在日常教學活動過程中,需要教師把培養(yǎng)問題提出能力作為一個重要的教學目標,落實在各學段的課堂教學之中.
首先,教師不僅要提供豐富多彩的數(shù)學情境,激發(fā)學生提出數(shù)學問題的欲望,鼓勵學生提出數(shù)學問題,同時也要教給學生提出數(shù)學問題的一些方法,在學生提出數(shù)學問題的過程中給予一些幫助.例如,在學生提不出數(shù)學問題的時候給學生提供一些例子,在學生總是提出類似的數(shù)學問題的時候,提供學生從另外的角度提問的例子,鼓勵學生對提出的數(shù)學問題進行評價與反思.此外,培養(yǎng)學生提出問題的能力,僅僅依靠課堂教學來促進學生的數(shù)學問題提出能力的提高是不夠的.還需要借助于各類考試對數(shù)學教學的影響作用,即在考試中增加一些數(shù)學問題提出的測試題.當然,在考試中,增加什么形式的數(shù)學問題提出的測試題,還需要進一步研究.
其次,既然數(shù)學問題提出觀念和學生數(shù)學問題提出能力之間存在密切的關系,因此要重視學生的數(shù)學問題提出觀念的培養(yǎng),要讓學生認識到,提出數(shù)學問題和解決數(shù)學問題同等重要.提出一個好的數(shù)學問題也是聰明程度的一個重要的表現(xiàn),同時,要更多地鼓勵學生,樹立學好數(shù)學問題提出的信心.
關鍵詞：《解決問題的策略——一一列舉》教學設計
蘇教版小學數(shù)學第九冊P63～64例1、例2及練一練。
2、教材結構、地位及作用：
本課教學用“一一列舉”的策略解決一些簡單的實際問題。這部分內容是在學生已經學習過用列表和畫圖的策略解決問題的基礎上進行教學的。因此本部分內容可分為兩層來安排教學。第一層：認識列舉法。第二層：學會列舉。即：例1作為本單元教學的起始，讓學生初步體會按一定順序列舉是解決問題的一種有效方法。然后通過例2的教學，進一步突出用“一一列舉”的策略解決問題時需要不重復、不遺漏地進行思考。最后讓學生利用學到的知識獨立解決問題，幫助他們鞏固認識、加深體會。通過這部分內容的學習，一方面可以使學生增強分析問題的條理性和嚴密性，另一方面可以使學生增強根據需要解決的問題的特點靈活選用策略的意識，提高分析問題、解決問題的能力。
二、學情分析
本節(jié)課的教學對象是五年級學生。在知識儲備上，在學習本單元內容以前，學生已經學習了用畫圖、列表等策略解決簡單的實際問題，并在學習和運用這些策略的過程中，感受了策略對于解決問題的價值，逐步形成了一定的策略意識。在思維方式上，五年級學生已經具備了一定的整理信息、分析問題和解決問題的思想方法與經驗，具有一定的抽象邏輯思維能力小學數(shù)學論文，但抽象思維一般都還處于無序狀態(tài)，通過學習，使學生的無序思維有序化、數(shù)學化、規(guī)范化。
三、設計理念
1、貼近生活，激發(fā)興趣。《數(shù)學課程標準》指出：“數(shù)學學習，要緊密地聯(lián)系學生的實際和生活環(huán)境，從學生的經驗和已有的知識出發(fā)。”對于小學生而言，與他們直接相關的、發(fā)生在他們身邊的、可以直接觸摸到的或者間接看見、聽說的事物，是他們最感興趣的。設計中，我在不改變教材的設計意圖的同時，對教材進行適當?shù)募庸?，真正把教材與學生的生活實際和學生的生活需求聯(lián)系起來，有效地增強學生對數(shù)學的興趣。
2、自主參與，親歷過程。美國著名心理學家布魯納說：“學習者不應該是信息的被動接受者，而應是知識獲取過程的主動參與者。”數(shù)學知識只有通過學生親身的主動參與、主動探索，才能轉化為學生自己的知識。數(shù)學課程標準中強調學生親歷知識的形成過程，把“動手操作、自主探究、合作交流”作為學生學習的主要方式。本節(jié)課教學設計，我力求“以學生自主發(fā)展為本”，關注學生學習結果，更關注他們的學習過程，關注他們的學習，更關注他們的情感體驗。
3、尊重差異，分層施教。“由于學生所處的文化壞境、家庭背景和自身的思維方式的不同，學生的數(shù)學活動應當是一個生動活潑的、主動的、富有個性的過程。”本節(jié)課的設計，我對學生的學情進行了大膽的預設，根據預設的情況，靈活選擇了不同的教學策略，努力讓不同層次的學生，都有參與的機會，發(fā)展他們的個性小學數(shù)學論文，使“不同的人在數(shù)學上有不同的發(fā)展”。
四、目標預設
根據教材內容、學生的年齡特點和認知規(guī)律，以及新課標的要求，我預設了以下幾個方面的教學目標：
知識與技能：使學生經歷用“一一列舉”的策略解決簡單實際問題的過程，能通過不遺漏、不重復的列舉找到符合要求的所有答案。
過程與方法：使學生在對解決簡單實際問題過程的反思和交流中，感受“一一列舉”策略的特點和價值，進一步發(fā)展思維的條理性和嚴密性。
情感、態(tài)度與價值觀：使學生進一步積累解決問題的經驗，增強解決問題的策略意識，并獲得解決問題的成功經驗，提高學好數(shù)學的信心。
基于以上教學目標，我擬定本節(jié)課的教學重難點是：
教學重點：
感受“一一列舉”的特點和價值，能用“一一列舉”的策略解決實際問題。
教學難點：
能有條理地一一列舉，發(fā)展思維的條理性和嚴密性。
五、教、學具準備：
多媒體課件、小棒、表格。
六、教學流程及設計意圖：
設計思路：本節(jié)課的教學力求緊密聯(lián)系學生的生活經驗，讓學生充分參與知識的探索過程，引導學生充分體驗策略的價值，促使學生富有個性地學習。設計思路是：創(chuàng)設情境，感知策略——合作探究，體驗策略——比較反思，感悟策略——運用拓展，形成策略——總結反思，內化策略。
（一）創(chuàng)設情境，感知策略
1、問題引入：用1、2、3這幾個數(shù)字可以組成多少個不同的三位數(shù)？
2、揭示課題：
師：剛才同學們把組成的三位數(shù)按照一定的順序一個不漏地列舉出來，這在數(shù)學上叫一一列舉。(板書：一一列舉)一一列舉也是我們解決數(shù)學問題常用的一種策略。
【設計意圖：導學的藝術在于喚醒。學生雖然是第一次正式學習用一一列舉的策略解決問題，但在他們的知識經驗中已模糊地經歷過類似的方法，只是還沒有建立起一種完整的數(shù)學模型。所以在課的引入部分，創(chuàng)設用不同數(shù)字組成三位數(shù)的問題情境喚醒了他們頭腦里已有的知識經驗，為下面的探究過程做好心理準備和認知鋪墊?！?/p>
（二）合作探究，體驗策略
第一層：教學例1 （簡單列舉）
1、情景創(chuàng)設，呈現(xiàn)問題。
出示情境圖，王大叔 ：“我用18根1米長的柵欄圍成一個長方形花圃。”
提問：從這句話中你獲得了哪些數(shù)學信息？
引導學生明確：花圃是長方形的小學數(shù)學論文，周長是18米。
呈現(xiàn)問題：有多少種不同的圍法？
【設計意圖：將教材中的“圍羊圈”改成“圍花圃”更貼近學生的生活實際，讓學生感受到數(shù)學就在身邊，體驗學習數(shù)學的價值?！?/p>
2、動手操作，交流圍法。
提出要求：周長是18米的長方形花圃可以怎樣圍呢？請同學們用自己喜歡的方法試一試。（提示：可以圍一圍、畫一畫、想一想、算一算。）
學生動手操作，教師巡視，并與生交流。
提問：你是怎樣圍的？圍成的長方形花圃的長和寬各是多少？
學生匯報，課件相機出示圍成的4種不同的長方形。
【設計意圖：“教學有法，教無定法，貴在得法。”通過學生的自主操作，一方面使學生明確圍成的長方形的周長與它的長和寬的關系，另一方面也使學生實實在在地感受到：要找出所有不同的圍法，需要有條理地一一列舉?！?/p>
3、填表列舉，解決問題。
談話：長方形的周長是18米，說明長與寬的和是多少？（9米）
師：你能把這些圍法一個不漏地列舉出來并填寫在表中嗎？
長方形的長（米）
長方形的寬（米）
小學數(shù)學論文參考文獻：
[1]杜威著，許崇清譯：《哲學的改造》[M],商務印書館.1958 年，P46
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1.中小學生數(shù)學能力的結構及其培養(yǎng)
2.小學生數(shù)學能力測試量表的編制及信效度檢驗
3.小學生數(shù)學學習觀:結構與特點的研究
4.小學生數(shù)學學習策略的運用與發(fā)展特點
5.小學生數(shù)學學習態(tài)度的調查研究
6.小學生數(shù)學能力評價框架的建構
7.民族地區(qū)小學生數(shù)學學習態(tài)度調查研究
8.小學生數(shù)學學習觀調查研究
9.小學生數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng)策略
10.小學生數(shù)學能力培養(yǎng)的實踐與思考
11.中小學生數(shù)學知識觀的調查研究
12.小學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)
13.文本表述和結構對小學生數(shù)學應用題表征的影響
14.中小學生數(shù)學能力結構研究述評
15.農村小學生數(shù)學學習焦慮狀況的調查分析
16.第一學段小學生數(shù)學語言表達能力的培養(yǎng)
17.海南省小學生數(shù)學能力基礎水平調查
18.中國不同地區(qū)小學生數(shù)學能力發(fā)展水平差異研究
19.農村小學生數(shù)學學習情況的現(xiàn)狀與對策
20.小學生數(shù)學思維特點的研究
21.小學生數(shù)學觀、數(shù)學學習策略與學業(yè)成績的關系研究
22.培養(yǎng)小學生數(shù)學自我效能感的實驗研究
23.教師數(shù)學教學知識對小學生數(shù)學學業(yè)成績的影響
24.小學生數(shù)學能力系統(tǒng)干預效果評價
25.小學生數(shù)學素養(yǎng)評價方案的研究
26.小學生數(shù)學學習自信心調查研究
27.淺談如何提高小學生數(shù)學學習效率
28.小學生數(shù)學能力結構探討
29.小學生數(shù)學學業(yè)情緒發(fā)展特征及原因分析
30.問題表征、工作記憶對小學生數(shù)學問題解決的影響
31.小學生數(shù)學個性化學習方式研究綜述
32.新課程對小學生數(shù)學能力影響的延遲效應
33.淺談小學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)
34.小學生數(shù)學能力要素與評價調查分析
35.論小學生數(shù)學隱性學力的提升
36.淺談小學生數(shù)學興趣與基礎學力培養(yǎng)
37.小學生數(shù)學自我效能、自我概念與數(shù)學成績關系的研究
38.試論培養(yǎng)小學生數(shù)學應用能力的途徑和方法
39.提高小學生數(shù)學學習興趣的有效策略
40.從中美小學生數(shù)學學習的多元表征看數(shù)學教學
41.小學生數(shù)學基本能力測試量表在貴州省的應用分析
42.黑龍江省小學生數(shù)學能力測試量表及常模的制訂
43.小學生數(shù)學解決問題中自我監(jiān)控能力的調查與研究
44.淺析優(yōu)化與提高小學生數(shù)學綜合素質的途徑——以人教版五年級小學數(shù)學為例
45.小學生數(shù)學思維特點的研究
46.小學生數(shù)學表述能力的迷失與重建
47.新時期小學生數(shù)學學習興趣的培養(yǎng)研究
48.運動干預對數(shù)學學習困難小學生執(zhí)行功能影響的實驗研究
49.中美四年級小學生數(shù)學學習的比較研究
50.小學生數(shù)學問題解決能力的培養(yǎng)
51.小學生數(shù)學能力測試的應用研究
52.外部表征、工作記憶對小學生數(shù)學應用題解決的影響
53.武漢市與江蘇、海南兩地城市小學生數(shù)學能力發(fā)展水平比較研究
54.我國中小學生數(shù)學觀現(xiàn)狀調查及其成因分析
55.關于中小學生數(shù)學學習質量內涵的討論
56.小學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)
57.教師教學思維對小學生數(shù)學概念理解的影響研究
58.小學生數(shù)學能力的因素分析
59.小學生數(shù)學學習興趣的培養(yǎng)淺談
60.中小學生的智力、學習態(tài)度與其數(shù)學學業(yè)成就的相關性研究
61.小學生數(shù)學思維品質現(xiàn)狀及對策——以YC市YF小學六年級為例
62.農村4-6年級小學生數(shù)學自我概念的個體差異研究
63.西北農村地區(qū)小學生的數(shù)學學習態(tài)度調查
64.3～6年級小學生數(shù)學能力水平及發(fā)展：一個矩陣設計研究的實例
65.論小學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)
66.3·3·3認知策略訓練對小學生數(shù)學能力影響的研究
67.培養(yǎng)小學生數(shù)學邏輯思維的方法與實踐
68.淺談小學生數(shù)學思維啟發(fā)方法
69.小學生數(shù)學學習情感評價的研究
70.小學生數(shù)學學習困難的原因及教學對策
71.小學生數(shù)學意識形成的研究
72.《中小學生數(shù)學能力心理學》評介
73.小學生綜合素質評價——淺談小學生數(shù)學課堂評價
74.小學生數(shù)學自主學習策略的教學
75.中日兩國小學生數(shù)學學力的比較研究
76.如何培養(yǎng)小學生數(shù)學審題能力
77.小學生數(shù)學學習興趣的培養(yǎng)
78.實踐性知識視野下小學生數(shù)學學習方式探析
79.基于小學生數(shù)學能力培養(yǎng)的幾點思考
80.問題結構呈現(xiàn)與小學生數(shù)學能力培養(yǎng)的研究
81.小學生數(shù)學應用題解題水平影響因素的研究——視空間能力、認知方式及表征方式的影響
82.元認知在畫圖表征策略和小學生數(shù)學問題解決能力中的中介作用
83.分析小學生數(shù)學錯誤的合理性——以“萬以內加法豎式”中的錯誤分析為例
84.小學生數(shù)學能力發(fā)展水平影響因素分析
85.對提高小學生學習數(shù)學興趣的思考
86.河南地區(qū)小學生數(shù)學學習策略水平的調查研究
87.小學生數(shù)學素質的國際比較研究及其啟示
88.淺議小學生數(shù)學學習興趣的培養(yǎng)
89.芻議小學生數(shù)學閱讀能力培養(yǎng)策略
90.淺談小學生數(shù)學計算能力的培養(yǎng)
91.小學生數(shù)學基本能力測試量表的貴州常模制訂
92.小學生數(shù)學學習焦慮與數(shù)學能力的相關研究
93.小學生數(shù)學錯誤的類型及對策
94.小學生創(chuàng)造性數(shù)學問題提出能力的發(fā)展研究
95.小學生的教師期望、數(shù)學作業(yè)情緒與數(shù)學成績的關系研究
96.小學生數(shù)學學習力:一種基于發(fā)散性思維的理解與詮釋
97.小學生數(shù)學能力的培養(yǎng)研究
98.規(guī)范數(shù)學語言 發(fā)展思辨能力——例談小學生數(shù)學語言思辨能力的培養(yǎng)
99.小學生數(shù)學學習情況調研及其啟示
100.關于農村小學生數(shù)學學習習慣培養(yǎng)的研究
101.雙語雙文教學促進小學生數(shù)學能力發(fā)展的研究
102.淺談提高小學生數(shù)學課堂參與度的有效策略
103.視空間工作記憶和非言語流體智力在小學生數(shù)學問題解題中的作用
104.小學生數(shù)學創(chuàng)新能力評價體系的構建
105.小學生數(shù)學閱讀的缺位及其指導策略
106.小學生數(shù)學問題意識培養(yǎng)的實踐探索
107.小學生數(shù)學計算策略教學
108.小學生數(shù)學自主學習能力的培養(yǎng)
109.我國小學生數(shù)學基本能力測試研究文獻現(xiàn)狀述評
110.試論如何培養(yǎng)與提高小學生的數(shù)學閱讀能力
111.貴州省小學生數(shù)學基本能力現(xiàn)狀研究
112.關于提高小學生數(shù)學素質的方法
113.小學生數(shù)學學習過程中的原始知識例釋
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四川省夾江縣第一小學校/余惠如
小學數(shù)學教師當前急需解決的迫切任務是如何最大限度地開發(fā)學生的潛能，使學生盡快掌握怎樣學，讓學生具備學習能力。由于語言是思維的外殼，培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力是一個重要的方面。因為語言的準確性體現(xiàn)著思維的周密性，語言的層次連貫性體現(xiàn)著思維的邏輯性，語言的多樣性體現(xiàn)著思維的豐富性。這說明要提高學生思維能力，就必須培養(yǎng)學生的語言表達能力，即立足課堂，通過聽、看、想、說等活動充分挖掘學生的潛能，以培養(yǎng)學生的語言表達能力，從而促進思維能力的發(fā)展。
一、營造氛圍,享受話語權。葉瀾教授提出應讓課堂充滿生命活力，也就是教師不能以一種嚴肅的態(tài)度來壓制學生，使學生始終拘謹于教師的眼皮底下，牽著學生完成教學目標，極大地壓抑學生的思想和情緒。在教學中，教師要甘愿蹲下身子與學生平等相處，營造一種寬松、民主、和諧的課堂氛圍，使學生能感受到“心理安全”和“心理自由”，以一種愉悅、積極、興奮的心態(tài)參與到學習中來，并通過觀察、操作、猜測、交流、反思等活動，充分發(fā)表自己的見解。使個性在活動中張揚。
確保學生的主體地位，讓他們充分享有話語權。首先訓練學生大膽發(fā)言，特別是聲音宏亮，有精神！數(shù)學課上通過創(chuàng)設情境，讓學生在自主的基礎上互動，充分思考、交流，對他們的見解給予積極評價，真正體現(xiàn)教學相長。表揚樹立榜樣，使學生明確要求后，每節(jié)課都結合檢查復習，基本訓練等教學環(huán)節(jié)進行訓練。要求學生大聲回答問題，每個人都要通過“發(fā)言聲音合格”的達標驗收。
二、陳述思路，養(yǎng)成好習慣。所謂陳述思路，就是說思維的過程。課上要給每個學生說自己思路的機會，可以個人獨自小聲說，同桌之間練習說，六人小組互相說，在全班說等等。通過說，學習思維方法。長此訓練，學生就會習慣于陳述思路。如在應用題教學中，堅持讓學生用數(shù)學語言說清題意,表述數(shù)量關系、解題思路,按運算意義口述列式根據、解題程序和解題方法。如教學分數(shù)應用題"蒼海號捕魚船五月份捕魚2400噸,六月份比五月份多捕了1/4。六月份捕魚多少噸？"時，訓練學生用數(shù)學語言有序地說出解題思路:由關鍵句“六月份比五月份多捕了1/4”可知道是把五月份捕魚量當作“1”,六月份捕魚的噸數(shù)就相當于五月份的（1+1/4），要求六月份捕魚多少噸，就是求2400噸的（1+1/4）是多少，可根據求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計算，列式為2400×（1+1/4）。又如教學復合應用題時，要學生說出解題程序，說出先算什么，后算什么。通過口述解題思路和解題程序，可以直接了解學生審題和理解題意的能力，便于教師根據學生的反饋信息調節(jié)自己的教學。
三、精煉語言，提高條理性。教學中在引導學生觀察、分析、推理、判斷后，要求學生用數(shù)學用語，簡明、準確地回答問題。啟發(fā)學生用自己的話總結概括出定義、法則或公式。使感性認識上升為理性認識。如在教學長方體體積計算時，我設計了如下操作活動：要求學生將18個正方體木塊(各表示1立方厘米)擺成形狀不同的長方體，邊操作邊說出所擺長方體的長、寬、高各是多少。教師分別板書出來后，引導學生觀察長、寬、高與體積的關系，并比較算式和相應的形體，發(fā)現(xiàn)長方體所占的體積單位數(shù)正好等于長、寬、高的乘積，并讓學生精煉地、完整地敘述出來。當學生語言有錯誤或冗長時要及時糾正。學生在組織語言的過程中，思維的條理性，準確性就得到了操練。
四、學會反思，增強學習力。學生最重要的學習是學會學習，最有效的知識是自我控制的知識也就是反思智慧，反思是指人們對于自身的行為思想等進行思考的過程，是一種對認識活動的再認知。反思性學習是對學習過程始終持有一種“健康”的懷疑,具有一種執(zhí)著的探索和創(chuàng)新精神。新的課程標準從全面育人的角度，提出培養(yǎng)學生“初步的評價和反思意識”的目標。如何結合實驗教材的內容，采取怎樣的學習方式可以把這種新的目標落實在課堂教學改革中。
課上加強反思性教學活動，一旦學生在練習中出現(xiàn)了錯題，不僅讓他把錯題改正過來，而要認真反思自己錯題的原因，在班上講出來。久而久之，學生養(yǎng)成了對自己錯題負責的好習慣，自主進行錯題積累、自主分析錯題原因。如“多邊形面積”教學后，我讓五年級學生寫“我與面積”的反思性數(shù)學小論文，一個學生在文中寫到：你知道我11月12日的作業(yè)是怎樣錯的嗎？說出來笑死你，梯形面積我全都沒除以2，5道題全錯，現(xiàn)在我已改了，請你別犯我這樣的錯。在反思中提高學力。
從事數(shù)學教研工作多年，他不輕信，不盲從，保持著清晰的專業(yè)判斷力。國家督學、江蘇省教育科學研究所原所長成尚榮先生這樣評價蔡宏圣：“他身上有鮮明的理性氣質，課堂深刻、新穎、靈動。深刻，源于其善于把握所教內容的理性本質，充分彰顯數(shù)學課堂的學科特性；新穎，源于其對教學內容的獨到理解，原創(chuàng)性的教學細節(jié)處理；靈動，是其教育觀念中自覺的兒童立場的凸顯。”
在教學和學生之間，蔡宏圣努力探尋著平衡，追求淺顯中見深刻、平和中現(xiàn)經典的教學境界。問其何能如此，他的回答也頗有“猴性”：“走自己的路，讓別人發(fā)現(xiàn)這也是條路?！?/p>
起航：勤于思考，不斷積累
思考，一直貫穿于蔡宏圣的求學和教研之路。1983年他考入南通師范學校學習時，便開始了撰寫教學論文的嘗試，并在當時較有影響的《自學導報》上公開發(fā)表文章。畢業(yè)前夕，學校組織去旅游，他留在學校，在圖書館里抄錄《外國著名教育家教育思想錄》?！拔矣浀媚菚r摘錄最多的是盧梭的《愛彌兒》，這個摘錄本現(xiàn)在還保存著，有時候打開看看，心里還會升騰起一種感嘆，當時怎么就一筆一劃抄了那么多呢？”回憶當時，蔡宏圣至今還為自己的勤奮而感慨?，F(xiàn)在常有人稱贊他的文字干凈、準確，與他當時的勤奮練筆是分不開的。
勤于思考的習慣應該說就在這種最初的鍛煉中逐漸養(yǎng)成。1987年12月，工作還不到一年半的蔡宏圣，就以《學生間信息傳遞、轉化及其最優(yōu)化問題》一文，獲得南通市小學數(shù)學論文評比二等獎，而排在前面的一等獎獲得者，則是當時已在小學數(shù)學教育界享有盛名的特級教師張興華，這讓蔡宏圣深受鼓舞并大為興奮，他說：“以一種思考者的眼光看待教育教學，把理論的思考與教育的實際問題結合起來，讓我充分體會到了教育的樂趣?！?/p>
此后的三四年時間里，蔡宏圣幾乎每個月都有文章發(fā)表，這更有力地促使他投入到研讀與思考中。他回憶說：“那時候的大部分星期天，我都會去辦公室，花上半天時間，看看書，翻翻資料，記記筆記，幾年下來，摘錄的卡片足有半米高?！辈毯晔ビ须S手記筆記的習慣，看到有關資料或者在教學中有了點滴體會，他都會及時記下來，還用膠水粘貼進教材中，日積月累，他用過的每一本教材，厚度幾乎都翻了一番。
1997年12月，蔡宏圣參加南通市小學數(shù)學年會，執(zhí)教了一堂觀摩課。課后，聽課的數(shù)學名師張興華發(fā)現(xiàn)：“這個小伙子有想法！”不久，蔡宏圣進入了張興華的課題組，與華應龍、徐斌、賁友林、張齊華等教師一起組成了“學習共同體”，站在了專業(yè)發(fā)展的新起跑線上。
2000年2月，江蘇省召開“新世紀小學數(shù)學教學改革研討會”，蔡宏圣應邀出席。他對于幾套小學數(shù)學教改實驗教材“統(tǒng)計”部分內容的思考分析，引起了盛大啟、邱學華等專家的注意，于是他被邀請參加了蘇教版小學數(shù)學教材以及小學數(shù)學新課程標準實驗教材的修訂和編寫工作。
應該說，這時候的蔡宏圣在自己的專業(yè)領域里已經有了一定的成績，但他沒有滿足，而是更加發(fā)奮思考和積累，等待更好的成長機會。不久，機會再次降臨。2006年，南通市教育局進行名師培養(yǎng)對象第一梯隊遴選。這次遴選，讓蔡宏圣“經歷了一次思考的高峰體驗”。當時其中一個最重要的環(huán)節(jié)是封閉式備課和上課，這是最考驗平時知識積累和應變能力的時候。
“當剛拿到課題的瞬間，我腦子一片空白?！辈毯晔ブ两裼浀卯敃r的情形，“用一個晚上備一節(jié)課，時間看似很多，但仔細一琢磨，要做的事情還真多，讀教材、理思路、定環(huán)節(jié)、究細節(jié)、成教案、背教案、做教具，每一個流程都不能少，而當時能調動的外在資源，只有教材和教學用書中相應內容的復印件，其他什么都沒有。”不容多想，他馬上把上述的七個流程粗略分配了時間，投入到了考驗心智的備課當中。
蔡宏圣曾用大量筆墨來描述這一次備課，其中有一段話讓人印象深刻：“封閉式備課和上課，穿透了被遴選者心智中的表層，直抵人的感覺、習慣、本色，純粹地展示了一個人內在的軟實力和可以打造的潛能空間。”正因為有了平時的積淀為基礎，蔡宏圣順利進入了南通市名師培養(yǎng)的第一梯隊，有機會沐浴在南通市名師培養(yǎng)導師團各位專家的智慧中。從此，他的專業(yè)視野與發(fā)展成果開始了質的飛躍。
課堂：和諧是數(shù)學教育應有的姿態(tài)
蔡宏圣經常思考這樣的問題：“一個小學數(shù)學教師，面對的是兒童，教的是數(shù)學。但兒童是什么？數(shù)學是什么？”蔡宏圣認為，在人與人的關系中，兒童用更為純正和直接的方式與人相處，兒童的表情是發(fā)自心靈深處的，顯得自然、健康，和成人比起來，兒童無疑和各種關系相處得更為和諧。而數(shù)學的發(fā)展過程充斥著猜測和想象、反駁與改進，乃至錯誤與曲折，正如數(shù)學史家克萊因所言，一門邏輯的學科卻是不合邏輯地發(fā)展。因此，數(shù)學是和諧辯證的復合體。由此，蔡宏圣得出：“兒童是和諧的生命體，數(shù)學是和諧的復合體，循乎兒童和數(shù)學的和諧本源而展開的數(shù)學教育，才是數(shù)學教育應有的姿態(tài)?！边@樣，蔡宏圣的教學主張有了理論源頭。
但要“走自己的路，讓別人發(fā)現(xiàn)這也是條路”，還必須尋求一個支撐點。2003年是蔡宏圣從南苑小學調到啟東市教育局教研室工作的第三年，雖然離開了一線講臺，但他從未放棄對課堂的思考。這一年，他設計了“認識乘法”一課，并在當年的南通市課改研討會上執(zhí)教。該課注重乘法概念形成過程的原創(chuàng)設計，讓聽課老師不禁感慨：原來“乘法的初步認識”還可以這樣教！年底，蔡宏圣就此撰寫了《文化視野中的小學數(shù)學教學實踐與思索》一文，獲得了江蘇省教育廳主辦的“教海探航”一等獎。這一課讓蔡宏圣明白：課堂才是思維的根，是成長的載體，絕對不能離開它。
認識到位后，蔡宏圣給自己構建了“審視現(xiàn)例、讀書思考、課例突破、理性總結”的專業(yè)成長路徑。2006年6月，他指導青年教師執(zhí)教《用字母表示數(shù)》參加華東六省一市的賽課，雖然捧回了好獎項，但總覺得意猶未盡，于是，他又了原先的所有設計并親自試教，誕生了全新版的《用字母表示數(shù)》。在該課的教學預設中，蔡宏圣更為自覺地運用了“和諧”理念來指導教學設計，并創(chuàng)造性地引入了數(shù)學史的視角探尋所教知識的內涵。該課注重實踐經驗和教育理論的結合（在理性的分析中體味學生的學習障礙），注重意義建構與文化傳承的并舉（在遞進的反思中完成認知結構的重組），漂亮地回答了“以學習者為中心的學習環(huán)境設計，多要素、多視角地促進課堂和諧”的訴求。不久，據此成文的《和諧：小學數(shù)學教學設計的新視角》《捕捉數(shù)學史中的教育基因》分別發(fā)表于全國核心期刊《課程·教材·教法》和《人民教育》上。
蔡宏圣的教學主張就在這樣的課例突破中逐漸明晰起來。之后，他的《認識負數(shù)》《平行》《24時記時法》《混合運算》等一批原創(chuàng)性課例引起廣泛關注。2011年5月，他應邀出席華東師范大學數(shù)學系承辦的第四屆數(shù)學史與數(shù)學教育（HPM）國際研討會暨全國數(shù)學史學會第八屆學術年會，并作了20分鐘的分組報告。
蔡宏圣杜絕從“和諧”道義中去尋找理論支撐，然后拼接數(shù)學例子的做法。他認為，考究“和諧”，是要把握住“和”的思維方式，以此統(tǒng)合數(shù)學教育的諸多范疇，追求學生素養(yǎng)的全面和諧發(fā)展，敞亮和彰顯數(shù)學教育的固有規(guī)律?？季克慕虒W主張，會發(fā)現(xiàn)他的課堂以“捍衛(wèi)數(shù)學特質、潤澤兒童生命”為價值取向，以“具體直白、深刻難忘”為教學內容，以“沒有過程的結果不是好的結果，不向著結果的過程不是好過程”為課堂根本，教學設計在“歷史和現(xiàn)實間的來回穿梭”，把握住“兒童基點、數(shù)學視野”的思維方式。他的《認識負數(shù)》（蘇教版國標教科書五年級上冊）一課，就體現(xiàn)了這些特征。
《認識負數(shù)》一課，蔡宏圣創(chuàng)設了巧妙的教學情境，以5個明星的身高導入，進行了一系列對比，層層遞進，分層次進行教學，讓學生清晰地掌握“定誰為標準量很重要”“0在尺子上有特殊的含義”等內容。當標準量發(fā)生改變，比較的結果就會不同，如果標準量為0，比它大的數(shù)就是正幾，而比它小的數(shù)就是負幾。接下來學生通過自己探究，得出了簡單的表示方法，知道了“正數(shù)和負數(shù)本是一對表示相反意義的量”。該課例的巧妙之處還在于，教師引導學生用直線上的點表示明星的身高，直接把負數(shù)的形象在豎著的“數(shù)軸”上表示出來，這與后來環(huán)節(jié)中溫度計的負數(shù)是同樣的道理。將負數(shù)在豎著的“數(shù)軸”表示，更能體現(xiàn)出“數(shù)形結合”的精神，也更能表示負數(shù)的意義，讓學生認識起來更加直觀和受用。
談起這節(jié)課的設計，蔡宏圣認為，教學不能從兒童的生活世界起步，最后還是會停留在經驗世界里，也不能認為演繹比歸納高明，抽象比感性高級，而用抽象的概念來蹂躪兒童的心智。他告誡同行：“要牢記，兒童只能學兒童數(shù)學，所以，‘直觀地抽象’才是高境界。只要找到了貼切而直觀的形式，那么兒童對于理性的認識可以前進幾大步?！彪S后，他又很自信地補充道：“本課例就是一個極好的例證！”
建議：數(shù)學老師應該讀點數(shù)學史
要想成為一名優(yōu)秀的教師，閱讀是必不可少的功課。談及閱讀，蔡宏圣提起了對他影響較大的一本書——上海師范大學袁小明先生編著的《數(shù)學思想史導論》，這是一本數(shù)學史方面的書籍。對于該書，蔡宏圣有自己的評價，他認為，作為數(shù)學史方面的著作，《數(shù)學思想史導論》可能并不全面和權威，但它卻打開了一扇窗：從數(shù)學史中探尋教學智慧。由此引出了他對數(shù)學教師的一個建議：數(shù)學教師應該讀點數(shù)學史。
蔡宏圣認為，學生在課本中所接觸到的數(shù)學知識體系，是經過精心組織的公理化結果，已經和其歷史過程割裂開來。一個數(shù)學概念僅僅看它的最終形式化表述，普通人很難深入把握其確切的本質意義。抽象的數(shù)學概念只有放在歷史背景上，和抽象活動的歷史過程結合起來，才能變簡練為豐富、變艱澀為生動，才能較完整地呈現(xiàn)出其經驗性和演繹性二重統(tǒng)一的本質，進而才更容易被學生調動相關經驗支撐其建構起概念。
他以“用字母表示數(shù)”為例，進一步闡釋他的觀點。
“用字母表示數(shù)”在幾大版本的小學數(shù)學教材中都是重要內容之一，在與教材配套的教師教學用書中，對其重要作用表述為“這是人類認識的一次飛躍”，但教師實際上很難理解其真正的意義。反而有教師認為，用字母表示數(shù)是因為不知道這個數(shù)是多少，因為在小學數(shù)學知識體系中，字母的運用主要是在解方程中用來表示未知量?？梢?，脫離了知識的歷史背景，就看不清它的來龍去脈，自然也就無從體會其數(shù)學本質。
而這些問題可以從數(shù)學史中找到答案。蔡宏圣說：“放在歷史的長河中，才會知道方程的解答最早是古阿拉伯數(shù)學家花拉子米用文辭敘述的，之后是古希臘數(shù)學家丟番圖用字母的縮寫表示的，直到17世紀才由法國數(shù)學家韋達不僅用字母表示未知量，甚至用字母表示系數(shù)，從而實現(xiàn)了人類認識的跨越，打開了近代數(shù)學的大門。換言之，用字母表示數(shù)的實質是符號化，絕不是用字母替代某數(shù)量?！?/p>
由此可知，教學“用字母表示數(shù)”的要義在于讓學生理解：一個已知的量為什么還要用字母表示。理解了這一點，才能使學生的認識實現(xiàn)由具體向形式化的飛躍。實際上，不僅僅是“用字母表示數(shù)”，數(shù)學中戰(zhàn)略性概念的建構，其背后都閃爍著數(shù)學思想的光芒，都是數(shù)學認識上的一次重大突破。所以蔡宏圣說：“脫離了歷史背景，要深刻把握其內涵都不是易事?！?/p>
正是因為把數(shù)學放到歷史長河中去探究，在歷史中認清了數(shù)學的本質，蔡宏圣能把課上得通透、深刻，《用字母表示數(shù)》又成了他的另一個經典課例。
成尚榮先生對蔡宏圣閱讀數(shù)學史的功力有過這樣的評價：“蔡宏圣對數(shù)學史的學習與研究既鏈接又融入，不過，他的數(shù)學教學卻是自然的融入而非鏈接。但是，融入談何容易。融入首先是融匯貫通，對數(shù)學史知識較為全面的理解與把握，而非一知半解；其次是在數(shù)學史與數(shù)學教學之間尋找到融入點，再自然滲透和表達；再次是讓學生的數(shù)學認識由具體向形式飛升。這樣，即使是小學數(shù)學教學也會充滿著知識理性、科學理性和價值理性?！?/p>
